Category: Mathematics - mISLANDia

Колко струва една теорема?

7/13/2019

Една от последните ми детински теореми* гласи че
2-адичният ред на естественото число 2n може да бъде изразен с частното на броя на делителите на n и броя на нечетните делители на n.

Запитах се колко струват дреболиите които "раждам", и в по-общ план - колко струва една теорема? И ето какво открих. Годишно на света се "раждат" около 200 хиляди теореми. Само в Съединените щати се "раждат" около 300 хиляди патента. В Китай те са малко повече. В останалия свят - вероятно още 600 хиляди. С други думи, в световен мащаб годишно се пръкват около 1.2 милиона патента. И като се има предвид че повечето теореми и патенти ще останат "бездетни", то може да се каже че на база на пазарното предлагане 1 теорема струва 6 патента, и то при доста по-малки "производствени разходи".

Доказателство (относно производствените разходи): за горната теорема ми трябваха 5 минути експерименти за да я открия + 10 секунди за да напиша равенството в подходяща форма + 1 секунда за доказателството от система за компютърна алгебра, т.е. общо 311 секунди.

Дали горното доказателство не е пример за обратната гледна точка че (на база на производствените разходи) един патент струва много повече от една теорема? Коя гледна точка Ви допада? Зависи от това дали продавате или купувате. Както и от това какво продавате или купувате: патенти или теореми.

_____________________________
* вж. ОEIS A001511

Българският парадокс

7/10/2019

Сеща се Спирос за един професор по математика, който му разправяше как изкарал най-лесните 1000 лева в живота си: на някакъв гъзар му отрязали европроекта заради грешна математическа аргументация; гъзарят се свързал с професора, който не пипнал нищо по проекта, а само проверил елементарните сметки и видял че на едно място трябва да има плюс вместо минус. Сеща се Спирос че и той самият изкарваше най-лесните пари в живота си по същия начин: като член на борда на директорите на една компания, вместо да се прави на интересен на акционерите заради някои неразумни политики, той се правеше на интересен на главния финансов директор - заради грешки във формулите за оценка на инвестициите в ценни книжа.

Замисля се Спирос за това може ли един проект да завърши добре ако математиката му е грешна. Странно е, но има такива проекти: проектите, в които няма нужда от математика; проектите в които тя се появява само за да покаже колко компетентен е някой гъзар или финансов директор. Поправяш грешните формули, но нищо друго в проекта не се променя: нито очакваната печалба, нито датата на приключване.

Виж, един проект не може да завърши добре ако идеята му е грешна. Един такъв проект е проваленият проект на българската училищна математика. Там целта е да се накарат учениците да наизустяват и упражняват до побъркване разни алгоритми, вместо да ги научат да мислят в кои случаи да прилагат наизустените алгоритми и как*. Да вземем за пример събирането, за което 7 милиона българи си мислят това:
3 милиона българи + 4 милиона българи = 7 милиона българи.

Да, ама не! Няма алгоритъм, вкл. математически, в резултат на който да получиш 7 милиона българи накуп. С думите на математиката: множеството на причините способни да обединят всички българи в едно множество е празно множество. Независимо от това какво пише в учебниците им или над вратите на парламента им.

И тук Спирос бива осенен от просветление, чийто резултат си записва в тефтера под заглавието "Българският парадокс":
Съществува нещо, което обединява 7 милиона българи в едно множество, и това е неумението им установят че е невъзможно да са елементи на едно множество.

__________________________________________________________________
* да не говорим че не ги учат да измислят собствени алгоритми за досега невъзниквали случаи

Нула

5/14/2019

Задача с превишена трудност:
Да се намери n>58, такова че десетичното 5^n да не съдържа 0.

За програмисти със силни компютри

5/8/2019

Питагоровата тройка {3,4,5} се състои от триъгълното число 3, квадратното число 4 и пентагоналното число 5. Други такива тройки са {9,12,15}, {100,105,145} и {900,2625,2775}. Да се намери поне една от следващите тройки!

Kolmogorov's Button

3/3/2019

Обаждам се на приятел да го поздравя по случай рождения му ден. Разговорът е симетричен: започва с моите пожелания и завършва с неговите - да съм публикувал нещо математическо. Как да му кажа че математическите ми открития са несвързани едно с друго и имат средна дължина от 2 изречения? Такива неща никой не публикува. Затова ... решавам сам да си публикувам нещо старо, отпреди 7 години.

When he was a 5-year-old boy Andrey Kolmogorov asked questions like
How many distinct patterns can you create with a thread while sewing on a four-hole button?

Unfortunately, there is no information on the Web what the answer was and had Kolmogorov found it himself. In a book about Grigori Perelman, Masha Gessen admitted that two professional mathematicians, both former students of Kolmogorov, had given different answers.

We found the number of patterns p in several cases where single-color thread was involved. We also found the number of patterns in several cases where threads of different colors c were used, including the case where the buttonholes were located on the vertices of a generic convex n-gon (i.e. a convex n-gon with no more than two diagonals intersecting at any point in its interior). Now, let us try the more complicated case involving different color threads and buttonholes located on the vertices of a “plain vanilla” regular convex n-gon and then generalize our findings with respect to all convex n-gons.

Assumptions:
A1. It is mandatory to utilize the buttonholes. There are many ways to sew on a button without utilizing the buttonholes but let us forget about them for the time being.
A2. All n buttonholes are located on the vertices of a regular convex n-gon.
A3. Different-color threads might be used for different segments between the buttonholes.
A4. Only buttonhole-to-buttonhole connections are used. No cross-border connections are allowed.

Calculation:
1. Some of the regular convex n-gons are generic ones – those, whose number of vertices is an odd number (n=2q+1) plus the square, where n=4. We have already found (see OEIS A209916) that for the generic convex n-gons the number of patterns p is
p = {(c+1)^[(n-1)n/2] * [c(c-1)]^C(n, 4)} - 1
as all possible intersections totaling C(n, 4) must be counted twice when two differently painted diagonals, totaling c(c-1), intersect (as two different patterns exist for every two colors, which you can see below).

Now we will cover those regular convex n-gons where n is an even number greater than 4 (i.e. when n=2q and q>2).

2. Thanks to Bjorn Poonen and Michael Rubinstein and their article “THE NUMBER OF INTERSECTION POINTS MADE BY THE DIAGONALS OF A REGULAR POLYGON” we know some things about regular polygons that we can use now:
a) When n=2q the number of diagonals intersecting at a point (except for the center of the n-gon) may be 2, 3, 4, 5, 6 or 7;
b) When n=2q the number of diagonals intersecting at the center of the n-gon is n/2.

3. The number of intersection points I(n) of the diagonals can be represented in the following manner: I(n)=i(2)+i(3)+i(4)+i(5)+i(6)+i(7)+i(n/2),
where i(k) (k=2, …, 7) is the number of points where k diagonals intersect and i(n/2) is the center of the regular n-gon where n/2 diagonals intersect (in the case of n=2q, q>1). Therefore, i(n/2) must be separately counted only in the cases where n=2q and q>7.

4. In it. 1 above, we saw that two different-color threads (e.g. red and green) look differently when the threads intersect (depending on which one is on top of the other). The same is true when the number of different-color threads is 3, 4 and more (see below how many patters are there when three differently painted diagonals intersect at a point).

Therefore, when trying to find the number of different patterns, it is not enough to count the number of edges and diagonals. We also have to count twice the cases where two different-color diagonals intersect, three times the cases where three different-color diagonals intersect etc.

5. Based on it. 2-4 above the formula in it. 1 above takes the following form:
p = (M1*M2*M3) - 1, where

and where -1 stands for the case when the button is attached to the cloth only by “0-color” threads, i.e. the case where the button is not attached at all.

6. This formula could be used for any convex n-gon, as long as we remember that in the cases of n=2q+1, as well as in the cases of n=2q and q≤7, we do not need to multiply by the third term (i.e. by M3) as the central intersection point either does not exist (when n=2q+1) or had already been handled (when n=2q and q≤7).

Чудесата на математиката и географията

2/22/2019

Вземи политическа карта на света и избери произволна страна! Знаеш ли че съществуват 4 точки от границата й, които са върхове на квадрат? Знаеш ли че все още не се е намерил умник способен да докаже че това е така?

Размисли за безсилието на ...

2/11/2019

Математиката
Могат да бъдат изчислявани и доказвани основно прости неща за простите неща. Да, обаче простите неща имат склонността да се комбинират с други прости неща, като в процеса на комбиниране се появяват много по-сложни и необясними неща. Например, математиците са наясно че с комбинирането на 5 сака и 3 панталона могат да се получат 15 костюма, но са безсилни да опишат математически модата и да дадат обосновани предположения за посоката на развитието й.

Словото
Пред истинското изкуство думите са безсилни. То е по-убедително когато те заведат до него и безмълвно ти го посочат с пръст, отколкото когато ти го обяснят. Казано а ла Витгенщайн: Какво е изкуството не може да се каже, но може да се покаже.

One conjecture a day keeps the doctor away, 051218

12/5/2018

Let k be a non-negative integer, n be a positive integer and

be the sum of the k-th powers of the infinitary divisors of n. Let

be the sum of the k-th powers of the odd infinitary divisors of n.

My conjecture is that for any k and n the second sigma is a divisor of the first one, i.e.

Какво се крие в "меланхолията" на Дюрер?

11/25/2018

В картината "Меланхолия I" от Албрехт Дюрер се крие един от най-известните магически квадрати.

Звучи странно, нали? Хем е известен, хем се крие? Да, от една страна е известен:
а) на математиците - като магически квадрат (на прост български: квадрат с N реда/колони, съдържащ естествените числа от 1 до N^2, подредени така че сумите на редовете, колоните и диагоналите да са равни),
б) на историците - като магически квадрат, средните клетки на чийто най-долен ред показват годината (1514) в която е е починала майката на твореца. Смъртта й е провокирала меланхолията, а оттам и картината, нарисувана през същата година.

И аз съм математик и историк в някаква степен, защото обичам да се ровя в математиката и историята, и да откривам по нещо. И мен ме мъчи меланхолията, защото тази година почина моята майка. Затова, с меланхоличното си вътрешно око, открих нещо което меланхоличният Дюрер е целял (за да се получи споменатото 1514), но което е останало скрито за наблюдателите: Симетричните разположените четворки от последователни числа (първа-последна и втора-предпоследна) образуват симетрични еднакви трапеци, обърнати на 180 градуса един спрямо друг.

Happy Ending Problem for Beginners

11/4/2018

The Happy Ending problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:

There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This simple theorem has a simple proof but, as the unheard of and complex concept of the so called convex hull is involved, the proof could be unintelligible to non-mathematicians, high school students inclusive. So, here is the simplest proof of mine, in which you can meet the familiar points and lines only.

Let us think about the five points as of two lines and an extra point. Line l1 is defined by P1 and P2, line l2 is defined by P3 and P4, and P5 is the extra point. There are only 3 cases to consider:

Case 1. Neither line intersects the segment between the points on the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 2. Each line intersects the segment between the points of the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 3. Only one of the lines intersects the segment on the other line. Let us assume without loss of generality that l1 intersects the P3P4 segment of l2. P5 can be in any of the 18 parts of the plane, but fortunately those parts are of only 2 types, O (coming from Other) and S (coming from Same). O means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the other half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P2P4 allowing us to build the convex quadrilaterals P2P3P4P5 and P1P2P5P4).

S means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the same half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P1P2 allowing us to build the convex quadrilateral P1P2P5P4).

We have just exhausted all possible arrangements of two lines and a point in a plane and proved that a convex quadrilateral can be built in each and every one of them. Q.E.D.

Unlucky Arithmetic Challenge

10/5/2018

Find a prime number p, such that all digits of 13*p are the same.

P.S.
4 June 2019
If p exists, then it is not one of the first 11 billion primes.

Шах със зарчета

8/4/2018

Какво виждате на петата страна на едно зарче? Ето това!

А можете ли да го видите върху шахматна дъска? Естествено! Колко пъти го виждате? А ако дъската е не 8x8, а NxN квадратчета?

Красотата е в очите на наблюдателя

7/30/2018

Чудя се защо, от всичките 20 различни доказателства, създателите на статията "Ойлерова характеристика" в Уикипедия са избрали любимото ми доказателство (дело на Коши, от 1811 г.). Мисля, мисля и не мога да измисля нищо по-добро от това:

Мотото "Красотата е в очите на наблюдателя" е оправданието на занаятчията. Изкуството на твореца разкрасява гледката на много наблюдатели, без значение дали гледат "отдолу" или "отвисоко".

Happy ending problem: 3+3=5

7/12/2018

The Happy Ending Problem is the following simple statement:

Given any five points on a flat surface that are in general position, i.e. no two of them coinciding and no three of them on a straight line, prove that four of these points will always form a convex quadrilateral.

This is the latest proof of mine:

1. Let us start with the observation that a line can intersect three edges of a triangle at most (see below). The number of intersected edges can be zero, two or three, but the number of intersection points can be zero or two (point of entry and point of exit).

2. An edge (or its extension) of a triangle can intersect three edges of another triangle at most (see 1 above). In the extreme case where every edge (or its extension) of the intersecting triangle intersects three edges of the intersected triangle (see below):
a) The number of intersection points is six, i.e. the maximum, and
b) Any vertex of any of the triangles is collinear with two other vertices, and
c) No edges of the two triangles coincide.

3. As any three points in general position form a triangle, any five points in general position form two triangles sharing a vertex. At least one of the edges (or their extensions) of the intersecting triangle (let us call it a "useful edge") intersects two edges of the intersected triangle at most (otherwise we have a contradiction with the general position requirement, see 2 above). In other words, a useful edge (or its extension) does not intersect at least one edge of the intersected triangle (let us call it a “useless edge”). On the other hand, the useless edge (or its extension) does not intersect the useful edge (otherwise the number of intersection points would be six or more, a contradiction with the general position requirement, see 2 above). Therefore, by connecting this pair of (useful and useless) edges we can build a convex quadrilateral (see below). Q.E.D.

Mатематически олимпиади

6/4/2018

В подготовката за, а и на самата математическа олимпиада, ти дават задачи, за които се знае че имат решение, с надеждата че когато пораснеш и се сблъскаш със задача, за която не се знае дали има решение, ти ще допуснеш (на база на опита си) че задачата има решение, и вместо да се откажеш, ще се захванеш да я решаваш. Което освен положителни има и отрицателни последици.

Днес имам още един възможен отговор на стария си въпрос:
Q: Защо повечето деца, спечелили медали от математически олимпиади, тънат в математическа неизвестност?
A: Защото са се захванали с решаване на нерешаеми проблеми, за които си мислят че са решаеми единствено заради успешния си олимпийски опит. Не е имало кой да каже на умните деца, това което се казва на малоумните инвеститори: "Миналото представяне не е гаранция за бъдещи резултати".

За Гаус, ама по друг начин

5/2/2018

Преди 2 дни прогресивната световна общественост чества годишнина от рождението на Карл Фридрих Гаус. Стотици журналисти и блогъри ни припомниха кой беше Гаус и какво направи за човечеството. Аз пък се сещам за нещо, което Гаус не направи.

В разговор на тема математика някой споменал на Гаус за Предположението на Голдбах. "Какво толкова се прехласваш, на момента мога да ти измисля 4-5 такива", казал Гаус и ... не измислил нищо.

Игра с прости числа

3/2/2018

Джоузеф Елис Тревър (1864-1941) бил професор по физикохимия в университета Корнел. Освен с обикновени атоми, обичал да си играе с прости числа (атомите от които е изграден светът на числата). Така се родила следната загадка:
Като се има предвид че всяка цифра, означена с въпросителна е просто число, да се намерят множителите и резултата.

Открих решението на загадката, но нали съм математик по душа, та се замислих за следното:
Дали за всяко просто число P1 може да се намери друго просто число P2, такова че произведението им да се състои само от цифри, които са прости числа?

Намерих отговора относно първите прости числа, но се оказва че (според видния математик Нийл Джеймс Александър Слоун) като цяло въпросът бил непосилен за съвременната математика.

Бягство от непрозрачната гора

12/16/2017

Има един проблем, който от 101 години се опъва на световната математика. Нарича се "Проблемът с непрозрачната гора" (Opaque forest problem). Ще се опитам да го опиша с мастило за първи клас:

Наследил съм квадратно парче земя със страна 1. За да го предпазя от лошите очи на съседите, аз трябва да го оградя. Целта е:
1. съседски поглед да не може да премине през земята ми и
2. оградата да е с минимална дължина (за по-евтино).
Формата и броя на сегментите на оградата, както и това дали сегментите са свързани един с друг или не, е по мой избор (стига да може да се изчисли дължината на оградата).

Ако искаме да опишем проблема с мастило за втори клас, то можем да сменим "квадрат" с "изпъкнал многоъгълник". Но за момента това не е толкова толкова важно, затова илюстрациите ще са с квадрати.

Източник: Уикипедия, Автор: Alexis Beingessner

Давам няколко примерни решения с дължина на оградата d:
а) горе вляво: d=4,
б) горе вдясно: d=3,
в) долу вляво: d≈2.73,
г) долу вдясно: d≈2.64.
Решението г) за момента се приема за оптимално, въпреки че това още не е доказано.

Лесно можем да забележим че в някои от решенията, ако се объркаме и останем в имота, то без да разваляме/прескачаме оградата нямаме път за навън (или пък пътят е неприятно дълъг). Затова нека да модифицираме проблема така:

Спазвайки изискванията да не разваляме оградата и да не я прескачаме, коя е минималната сума от дължините на: 1) оградата (черни линии) и 2) пътя от точката, максимално отдалечена от незаградена страна на имота, до същата страна (червени линии).

Тук нещата са по-различни: сумарната дължина на черни и червени линии при вариант в) е по-къса от тази при вариант г). Съществува ли вариант с още по-малка сумарна дължима?

Източник: Уикипедия, Автор: Alexis Beingessner, Модификация: моя милост

Divisor functions: An educated guess by an uneducated person

12/8/2017

Let k be a non-negative integer, n be a positive integer and

be the sum of the k-th powers of the positive integer divisors of n. Let

be the sum of the k-th powers of the odd positive integer divisors of n.

Is it true that for every k and n the latter sigma divides the former sigma? In other words, is it true that for every k and n

I believe it is true.

P.S.
Later, I found that the above also applies to the respective sums of the unitary and infinitary divisors of n.

Number nine

11/12/2017

Nine is the only natural number n such that the sum of the digits of the first n natural numbers and the sum of the digits of the next n natural numbers are equal.

Тъпанар, нЕкои дефиниции

10/9/2017

Човек, който си мисли че топологията е наука за оръдията.

Човек, който си мисли че ориентиран граф е благородник, който е наясно с нещата от живота.

Бързата кучка глупи ги ражда

9/19/2017

Да бързаш е тъпо, дори когато те гони глутница кучета. Идеята е да не показваш че си уплашен от кучетата. Бягаш ли, ти им казваш: "Аз съм уплашена жертва, гонете ме". Не трябва и да ги нападаш, a просто да им покажеш че можеш да се защитиш: вземаш голям камък, или още по-добре - тояга. Има и друг вариант: продължаваш да вървиш сякаш нищо не се е случило. За него обаче се искат топки. Изпробвал съм го успешно, но си признавам че кучетата бяха само три. А може и да не са били гладни.

Ситуацията е подобна и при мисленето. Дори то да е бързо, не трябва да го пришпорваш! И при мисленето става дума за S=V*t. С други думи, резултатът зависи не само от скоростта на мислене, но и от времето отделено за мислене. Колкото повече бързаш, т.е. колкото по-бързо спреш да мислиш (защото си решил че си мислил достатъчно), толкова по-зле.

"The Inquisitive Problem Solver" е книга с математически проблеми написана от професори-математици, сред които е и небезизвестният R. K. Guy. От нея е следният проблем:
Х и У са цели неотрицателни петцифрени числа, като Х>У. Числата са записани десетично, като при записването им са използвани всички десетични цифри. Може ли Х-У<250?

Алгоритъмът за конструиране на двойките от кандидат-числа е елементарен. По-трудното е да не си направиш изводите прекалено бързо, заявявайки с прекалена сигурност: "Разликата е винаги над 250". Авторите не са допуснали тази грешка; в раздела с отговорите те казват:
Разликата на всички двойки числа, освен една, е над 250. Тази двойка е .....
(тук в книгата има дефект и текстът не се чете).

Следният въпрос може и да звучи идиотски, но служи за проверка дали сте научили нещо от това което написах:
Бързали ли са професорите?

One conjecture a day, 110917

9/11/2017

Except for 1, all Ore numbers are Zumkeller numbers.

Thinking in four dimensions

8/22/2017

This is what Leonhard Euler found about the triangular numbers

This is what I found about the tetrahedral numbers

Can you find x=f(m), y=g(n) and z=h(m, n) such that there is a similar formula for the pentachoronal numbers

G. H. Hardy and Goldbach's Conjecture

7/23/2017

I saw how this Prometheus guy lighted his fire and can honestly tell you, gentlemen, it was nothing special. Any slacker or goatherd could do it. Apocryphal Tales, Karel Čapek

G. H. Hardy once said that any fool could have guessed Goldbach's conjecture. He was wrong since there had lived so many fools before Golldbach's time but none of them had guessed the conjecture (that is why Goldbach's name is attached to it).

One might think that any fool could have made G. H. Hardy's remark. But the reasoning in the first paragraph can be applied to the last sentence. Therefore, though G. H. Hardy's remark sounds foolish it is not true that any fool could have made it.

There is a vast area of foolishness reserved for the clever people. Blessed are the fools, for they are unable to explore this "special" area.

weebly reliable statistics