Category: Mathematics - Ivan's island

Кое е важното в музиката и математиката?

11/20/2023

"Математиката е като нотирана музика. Важното е не да можеш да четеш музиката, а да можеш да я чуваш", казват авторите на филма "Опенхаймер" с устата на Нилс Бор. Добре са го казали, но малко са закъснели. Преди близо 4 години аз го написах така:
Големите хора са (не читатели, а) производители, те първо чуват музиката и виждат зависимостите в главите си, и едва тогава ги записват - под формата на партитури и формули.

Апофения и епифания

11/17/2023

Чета как Коко Шанел била дълбоко апофенична, както и че любимото ѝ число било 5. Виждала 5 навсякъде, представяла колекциите си винаги на 5-ти май. Точно това направила и когато представила пред публика ... познахте, парфюма "Шанел 5". Направила го на 5.05.1921 г.

Виждам дълбока апофенична връзка между Коко и мен. И аз съм запленен от числото 5. Даже имах епифания, откривайки Теорема за петорността на естествените числа.

Простото е красиво

11/15/2023

За кои стойности на n изразът sum(к=1..n, к!) приема стойност просто число? Защо?

За любовта от пръв поглед

11/11/2023

Така, както любовта от пръв поглед понякога води до перфектно съчетание от типа "докато смъртта ни раздели", така понякога се случва и перфектно съчетание между задачата и човека, който я решава. Имам и подходящ пример: математикът Филип Сайдак и Евклидовата теорема (за безкрайността на простите числа).

Глупавата грешка на Иван

11/11/2023

Стига съм писал за чужди глупави грешки. Сега ще пиша за една моя. И така ...

Без много да мисля, запитах публично има ли просто число p(n+1), съдържащо като подстринг предходното му просто число p(n). Бързо ми отговориха че това е невъзможно: ако такова число p(n+1) съществува, то p(n+1) > 2*p(n), но съгласно Постулата на Бертран между p(n) и 2*p(n) винаги съществува друго просто число.

Има полза и от глупавите грешки, рожби на прибързаното мислене. Моята, например, провокира следните размишления, които се надявам че съвсем не са глупави:

Може ли човек да е това, което не е? Може, ще кажете, хората не са статични. Те се променят - понякога към добро, понякога към лошо. Целта е промяната да е към добро (в моя случай - към не толкова припряно мислене).

Дотук добре, но ... ако всички можеха да се променят към добро, то защо всички не сме композитори като Бетовен и бегачи като Болт? Колегите ми по прибързано мислене веднага ще отговорят че не всеки иска да стане като Бетовен и Болт, а от тези които искат, не всеки е готов да положи необходимите усилия. А защо не са готови да полагат необходимите усилия?

Защото някои не могат, а други не искат. Вторите считат промяната за предателство по отношение на себе си. На теория Ботев можеше да се промени, т.е. да остане в Румъния, да продължи да пише и да се занимава с революционна дейност дистанционно, но би го счел за предателство към себе си и България. Затова предпочете несигурното бъдеще на боец срещу стократно по-силен противник, което го доведе до смъртта му.

Не искам и мога да се сравнявам с Ботев, но ... да престана да изказвам недообмислени мисли бих счел за предателство към собственото си Аз. Ще продължа да го правя, без значение че съм се изложил тук или там, пред този или онзи.

Но това е инат, ще кажете. Не, не е. Да си позволи лукса да изказва само добре обмислени мисли може само този, в чиято глава собствени мисли се появяват рядко. Започнеш ли твърде много да обмисляш "новородените" си мисли, няма да имаш време и сили да "раждаш" нови.

Стъпала към безкрайността

11/5/2023

За най-красива теорема в математиката се приема теоремата на Евклид (за безкрайността на простите числа). В статия от 23 юли 2023 г. Ромео Мещрович твърди че към 2022 г. са известни 200 различни доказателства на теоремата.

През 2023 г. открих конструктивно доказателство на това че броят на различните доказателства на теоремата е безкраен. Това може и да е успех, но той е вече постиган от поне 2-ма автори преди мен. Оригиналното в моя случай е че успях не просто да докажа че броят на доказателствата е безкраен, а в това че успях да го докажа по 2 различни начина, а именно:
2.1. с употреба на редици от полигонални числа;
2.2. с употреба на редици от полихедрални числа.

Ако сумираме, то можем да кажем че засега наличните начини за доказване на факта че съществуват безброй много начини за доказване на факта че съществуват безкрайно много прости числа са поне 4. Питам се дали възможните начини не са безкраен брой.

Везенков срещу "Лейкърс"

11/1/2023

Везенков вкара 11 точки срещу "Лейкърс" и разни баскетболни разбирачи започнаха да го омаловажават или възхваляват. Голяма работа, казват първите, това са 4 или 5 коша.

Веднага намерих грешката в това твърдение - разбирачите са забравили за единиците. По-интересното го намерих малко след това, а именно - формулата за броя начини за вкарване на N точки в баскетбола (като имаме предвид че в различни случаи 1 кош се брои за 1, 2 или 3 точки). И така ... формулата е Round((N+3)*(N+3)/12)

Проблем с палиндроми и конкатениране

10/22/2023

Числото 1441 може да бъде видяно по два начина:
а) като резултат на конкатенирането на квадрат (144) и куб (1), т.е. 144к1,
б) като резултат на конкатенирането на куб (1) и квадрат (441), т.е. 1к441.

1441 и подобните му числа образуват целочислена редица, член на която е и числото 10*(х^6) + 1, където х>=1. Оттам че можем да заместим х със степените на 10, следва че редицата съдържа безкраен брой палиндромни членове. Нашият проблем е следният:

Съществуват ли палиндромни членове на горната редица, които:
в) са по-големи от 4665664, и
г) не са от формата 10*(х^6) + 1, където х е степен на 10?

Простота и простотия в BG-математиката

9/26/2023

Доскоро се чудех какво е било IQ-то на човека, нарекъл т.н. prime numbers прости числа. Отговарях си че е било близо до нулата.

Сега се чудя с кой акъл са нарекли т.н. torus тор. Отговарям си че IQ-то на виновника е било под нулата (да си прави компания с обонянието му).

Какво е откритието и откъде можем да го "нападнем"?

9/17/2023

"Откритието включва две неща: това че едно нещо е и това какво точно е", казвал физикът, историк и философ на науката Thomas Kuhn. Когато става дума за география, нещата се движат в горепосочената последователност:
а) първо откриваш че нещото е (Колумб),
б) после откриваш какво точно е (Веспучи).
"Това е нов континент", заявил Веспучи и новият континент бил кръстен на негово име. Колумб не могъл да заслужи това право, той смятал че е открил нов път до Азия.

В други случаи последователността е обратната. Първо откриваш какво точно е нещото и чак след това - самото нещо. Знам го, понеже и с мен се е случвало. Когато измъдрих елементарната концепция за простите палиндромни числа с прости палиндромни индекси* аз всъщност открих какви точно са нещата първо, а кои са самите неща - след това. Оказа се че (като че ли) те са само три: 3, 5 и 11. Е, с това откритие не влязох в книгите (като Веспучи), но успях да вляза във френското научно-популярно списание Pour la Science. Както казват рибарите, като няма риба и ракът е риба.

__________________________________
* За да е от този вид, числото от първата редица (виж по-долу):
1. трябва да е едно и също когато го четем отзад напред и отпред назад, и
2. неговото число-близнак (в същата колона от втората редица) трябва да го има в първата редица.

Просто число 2 3 5 7 11 13 17 19 ...
Място (индекс) в редицата простите числа 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

How to solve it? Различно!

8/30/2023

Това е картинката, следва задачата (взета от Мартин Гарднър):
Възможно ли е, и как, с цифрите от 1 до 7 да се запълнят всички клетки (т.е. шестоъгълници) на фигурата, така че:
а) във всяка клетка да има по една цифра, и
б) сумата на цифрите във всички 3 реда и 6 диагонала да са равни?

Гарднър е дал две решения, но аз намерих свое собствено:
Къде би могла да се намира цифрата 7?

1. Очевидно не би могла да бъде в нито в една от 6-те външни клетки. Причината е че всяка от тях е част от 3-клетъчна линия (диагонал или ред) и още две 2-клетъчни линии (диагонал или ред), но няма как да намерим алгебрично решение на 7 + A + B = 7 + C = 7 + D, при което условието С <> D да е изпълнено. С пример, няма решение на 7 + 1 + 2 = 7 + 3 = 7 + D, за което D <> 3.

2. Ако цифрата 7 е в централната клетка, то тя е част от три 3-клетъчни линии (1 ред и 2 диагонала) и ние бихме могли да намерим едно единствено алгебрично решение: 1 + 7 + 6 = 2 + 7 + 5 = 3 + 7 + 4. За съжаление, споменатото решение не отговаря на условието сумите на цифрите във всички редове и диагонали на фигурата да са равни. Следователно, цифрата 7 не може да се намира в централната клетка.

Изчерпихме всички възможни случаи, без да намерим място на цифрата 7. Следователно, задачата няма решение.

Какъв бе вашият подход?

How to solve it? С груба сила, изотзад!

8/21/2023

Най-големият математически бестселър (след евклидовата "Геометрия") е шедьовърът на George Pólya "How to solve it", на нашенски - "Как се решава тази задача". Досега книгата е издадена в тираж над милион екземпляра и продължава да се издава. Преди няколко седмици, например, си купих бройка от изданието на Penguin от 2022 г.

В книгата си Поя дава безценни съвети, но ... начините му на решаване на примерните проблеми, са неоправдано сложни, поне за лаиците като мен. Днес ще се оплача от Проблем 18 от книгата на Поя, виж стр. 238 тук! Задачата е да се намери броя начини, по които може да се развали един долар с монети от 1, 5, 10, 25 и 50 цента.

Решението на Поя заема цели 2 страници (252 и 253, на същия линк) и само като го погледнах, разбрах че не е "моето" решение. Реших ръчно да реша задачата (почти) без никакво мислене, само с въвеждане на подходящи означения и умно броене. Но понеже не съм силен в сметките на ръка, предположих че няма да стигна до вярното решение. Изведнъж ми хрумна да изкомандвам войската (т.е. добрия стар Wolfram) за силово нападение изотзад. Length[FrobeniusSolve[{1,5,10,25,50},100]] ми даде верния отговор за една стотна от секундата.

Не съм се отказал да намеря несилово решение, по-кратко и просто* от това на Поя, но го оставям за по-нататък.

___________________________________________________________
* горното силово решение е супер-кратко, но не е просто; тук решаваме т.н. Уравнение на Фробениус, намирането на чиято дефиниция затруднява дори всемогъщия Гугъл

How to solve it? Без бързане!

8/18/2023

Най-големият математически бестселър (след евклидовата "Геометрия") е шедьовърът на George Pólya "How to solve it", на нашенски - "Как се решава тази задача". Досега книгата е издадена в тираж над милион екземпляра и продължава да се издава. Преди няколко седмици, например, си купих бройка от изданието на Penguin от 2022 г.

В книгата си, Поя показва че не само е голям математик, но и голям философ, писател, а и преподавател. Дава безценни съвети, но само едно нещо е пропуснал - да каже какво става след като решим задачата (докажем теоремата) и проверката на резултата покаже че сме прави. Ще го кажа вместо него:
Вместо да се потупаме по рамото за акъла и упоритостта, след което да се захванем с нещо друго, добре е да не бързаме, а да помислим няма ли друго, т.е. по-добро, кратко и елегантно решение, достойно за Книгата*.

Нека разгледаме Проблем 18 от книгата на Поя, виж стр. 237 тук! Задачата е да се разгледа следната пирамида, да се открие закономерността, да се изрази в символна форма, след което да се докаже верността ѝ.

1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64

Решението на Поя (виж стр. 250-251, пак там) е кратко и елегантно, но не е оптималното (изисква се познаване на аритметичните прогресии, например). Моето решение е максимално просто**:
Произвеждаме пирамида, различна от пирамидата на Поя. Нашата пирамида изглежда така

1
1+3+5
1+3+5+7+9+11
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на n-тия ред на нашата пирамида минус (n-1)-я ред на нашата пирамида. Доказваме (ето как) че n-тият ред на нашата пирамида е равен на квадрата на n-тото триъгълно число, което е n(n+1)/2. Оттук, директно следва че n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на (n(n+1)/2)^2 - ((n-1)n/2)^2 = ... = n^3

__________________________________
* в която, по думите на Пал Ердьош, Бог записва най-красивите решения и доказателства
** на принципа "Накарай мързеливия (неукия) на работа, че да те научи на акъл"

Математика в ежедневието: Измеренията

8/12/2023

Стаменко Математикът се разхожда по прословутите жълти павета и вижда как някакъв "майстор" решава нерешим проблем. Само да не си помислите че става дума за Проблема с непрозрачната гора или Проблема с изоморфизма на графите! Не, не става дума за тях!

Майсторът се е захванал да изстъргва боята на метална врата, но не ръчно, а машинно - с въртящ се диск. И понеже не може да осъзнае същината на проблема, той е избрал неподходящ диск, т.е. диск, чиято работна повърхност е ръбът му.

Колко мъка има на този свят, мисли си Стаменко. Ако задачата беше да се изстърже 2-измерната повърхност на вратата с диск, чиято работна повърхност е 2-измерната му страна, то проблем няма. Ако целта беше да се разреже вратата с диск, чиято работна повърхност е 1-измерният му ръб, то проблем няма. Но когато се опитваш да стържеш евклидова 2-измерна повърхност с 1-измерния ръб на диска, не трябва да забравяш че контактната им точка е 0-измерна и стъргането ще ти отнеме безкрайно време.

Колко глупост има на този свят, мисли си Стаменко. Не го подценявайте, той няма предвид света като цяло, а само тези места където, вместо за свършена работа, се плаща на час. Там където се плаща на час, майсторите обичат да решават нерешими проблеми.

Послепис
На какво прилича стърганата врата 3 месеца след стъргането може да се види по-горе.

Математиката - висша или нисша?

8/9/2023

Математиката не е висша или нисша, а ранна или късна. Теоремата на Наполеон се струва нисша само на тези, които забравят:
1. че се е пръкнала чак през 19-ти век, вместо да се яви на някой грък векове преди Христа, и
2. че е трябвало да изчака автора да вземе изпитите си по "висша" математика, за да може да я измисли и докаже.

Числото на Живота, Вселената и всичко останало

7/4/2023

Някои казват че числото било 42, но не се обосновават. Както винаги, аз съм на обратното мнение: числото е 24.

Делителите на 24 образуват множеството D = {1,2,3,4,6,8,12,24}. От една страна, D е обединение на непресичащите се множества на делителите S1 = {1,2,3,24} и S2 = {4,6,8,12}, които са с еднакви суми и кардиналности. От друга страна, D е обединение на непресичащите се множества на делителите P1 = {1,2,12,24} и P2 = {3,4,6,8}, които са с еднакви произведения и кардиналности. За капак: S1, S2, P1 и P2 са също с еднакви кардиналности.

За любителите на 42 имам успокоение. За него също може да се намери подобно представяне*. Но ... шампионът е 24, а 42 е само бронзов медалист!

____________________________________
* където S1 = {1,2,3,42}, S2 = {6,7,14,21}, P1 = {2,3,7,42}, а P2 = {1,6,14,21}

Царският (и селският) път в математиката

6/29/2023

Вече сме установили че има царски, че дори и благороднически, пътища в математиката. Днес ще внесем важното уточнение че по тях се движат не само хора със синя кръв, но и хора от простолюдието - стига някой със синя кръв да им е дал разрешение. И така ...

Да станеш инженер без диплома? Става. Виж, да станеш инженер без математика е доста по-съмнително. Така станал инженер Алек Иссигонис, след като в политехниката три пъти го късали по математика. По-късно станал автомобилен дизайнер и състезател, и бил запомнен с изказването: "Всички креативни хора мразят математиката. Тя е най-некреативната дисциплина сред всички изучавани."*

Да станеш академик в престижна академия на науките без диплома? Става. Виж, да станеш академик без математика е къде-къде по-съмнително. Така станал академик Алек Иссигонис, след като се прочул като дизайнер на прочутите английски коли "Мини" и три години след като кралицата го направила Командор на Ордена на Британската империя. Е, помогнало и това че британската академия не била просто академия, а кралска академия**.

Е, след тази информация ни става по-лесно да преглътнем практиките на Българската академия на науките, която:
а) приема за членове художници с партийни, и скулптори с министерски, постове, и
б) дава почетни докторати на разни първосвещеници.
Политика, милорд! Най-некреативното и просто за обясняване занимание сред всички практикувани!

______________________________________________
* забелязвате ли колко свободно употребява думата всички (2 пъти в две изречения); само от това (без да знаем за многократното късане) можем да направим извода че не е бил роден за математик
** всъщност, истинското ѝ име е Кралско лондонско общество за подобряване на естествените знания; доста зле звучи, има нужда от подобряване, но на името

Гениалност в писането и четенето

6/4/2023

Във "Фрагментът, фрагментарно 2020" литераторът Пламен Антов твърди:
" ... хората са два вида - автори и читатели. Някои са гениални читатели така, както други са гениални автори."

Не знам нищо за контекста, в който е родена мисълта, но мога да я поставя в мой контекст. Прочетох тук как Вацлав Серпински генерира по два начина безкрайни числови редици от триъгълни числа (виж Проблем 42) и тетрахедрални числа (виж Проблем 43), като всеки два члена на редиците са взаимно прости. Към книгата на Серпински, а и към други подобни книги и статии за четене, ме насочи статия от Ромео Мещрович за 183-те начина за доказване на евклидовата теорема за безкрайността на простите числа. Генерализирах подхода на Серпински и открих две различни формули (тук и тук), демонстриращи факта че съществуват безкраен брой начини за доказване на безкрайността на простите числа.

Да генерираш безкрайността по безкраен брой начини! Ето това е да си гениален читател!

Числото на живота, Вселената и всичко останало е 4

4/9/2023

Понеже днес съм на вълна точки (гледни и IQ), та се сетих за израза "фиксирана точка" и реших да напиша на български това, за което преди време станах "известен" чак в Китай. За незапознатите обяснявам: фиксираната точка на една функция f е точката Х, в която Х = f(X).

Теорема:
Функцията "Брой символи в името на числото X на американски английски" има една единствена фиксирана точка, а именно 4.

Следствие:
Рекурсивното прилагане на функцията към произволно число винаги ни "паркира" върху числото 4.

Пример:
Ако числото Х = pi*r^2, то името му е "pi times r squared", a f(Х) = 15, f(15) = 7, f(7) = 5, f(5) = 4.

Infinitely many ways to prove the infinitude of primes, 2

3/19/2023

Let us start with the observation that for m > 5 the n-th m-gonal pyramidal number is of the form (1/6)*n*(n + 1)*((m – 2)*n – m + 5) (details here).

The positive m-gonal pyramidal number P and the m-gonal pyramidal number whose index is (6*P + 1) are coprime since the latter is of the form
(1/6)*(6*P + 1)*(6*P + 2)*((m – 2)*(6*P +1) – m + 5) = … =
= (3*P + 1)*(6*P + 1)*(2*P*(m – 2) + 1).

Therefore, for any m > 5 any sequence whose first term a(1) is a positive m-gonal pyramidal number and whose general term is of the form
a(n) = (3*k + 1)*(6*k + 1)*(2*k*(m – 2) + 1),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i), is a sequence of pairwise coprime m-gonal pyramidal numbers.

Corollary:
The above implies, by the Fundamental theorem of arithmetic, that there are infinitely many ways to prove the infinitude of primes.

Example:
By taking as a seed the first hexagonal pyramidal number 1 (see OEIS A002412), we can construct the following sequence of pairwise coprime hexagonal pyramidal numbers: 1, 252, 2310152797, 28410981127871160285705816883937448685, ...

Infinitely many easy ways to prove the infinitude of primes

2/26/2023

Elaborating on my previous text called "One easy way to prove the infinitude of primes", I found the following

Theorem
Let m = 2*l, for any l > 0. There are infinitely many sequences of pairwise coprime m-gonal numbers, whose first term a(1) is any positive m-gonal number and whose general term a(n) is of the form a(n) = (k +1)*((l – 1)*k + 1)), where
k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Corollary
The fact that any such sequence is infinite implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of ways of proving the infinitude of primes.

Example
Let us take for example the Tetradecagonal numbers (where m = 14 and l = 7) and take the second 14-gonal number 14 as the first term of the new sequence (NS). The general term of NS is of the form a(n) = (k +1)*(6k + 1),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i) and
NS = {14, 645, 244658821, 14642610579551886703145221, ...}.

One easy way to prove the infinitude of primes

2/23/2023

Improvising on the ideas of Wacław Sierpiński*, I found that infinitely many sequences of pairwise coprime octagonal numbers can be constructed, their first term a(1) being equal to any positive octagonal number and their general term being of the form a(n) = (k+1)*(3k+1), where k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Any such sequence is infinite, which implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of primes.

Example
One such sequence is 8, 225, 9727201, 919691230011613567201,...

___________________________________________________________________
* see Problems 42 and 43 here, which involve triangular and tetrahedral numbers

Простата красота

2/16/2023

Красивата математическа теорема, казват, трябва да е
А. проста
Б. основана на минимален брой допускания, и
В. изненадваща.

За най-красива се смята Теоремата на Евклид за безкрайността на простите числа. Евклид я доказва, допускайки че простите числа са фиксиран брой, например n, т.е. P = {p_1, p_2, ..., p_n}. След което намира произведението им и добавя 1. Полученото число не се дели на никое от дадените прости числа и следователно или е просто число различно от тях, или не е, но в този случай се дели на просто число различно от тях. Следователно допускането че простите числа са фиксиран брой е невярно.

Ако не сте математик/чка, но въпреки това имате остро зрение, то ще видите едно "невидимо" допускане и ще попитате: "А кой е казал че числото p_1*p_2*...*p_n + 1 трябва да се дели на просто число?" Това го казва Фундаменталната теорема на аритметиката, но тя съвсем не е проста.

Ще се поотдалеча от истинската математика и ще спомена моя афоризъм "Реалните хора са като реалните числа - понеже повечето са ирационални, те смятат себе си за нормални". Красив и прост е той, но е трудноразбираем. И тук има невидимо допускане - че читателят знае какво са реалните, ирационалните и особено нормалните числа.

Ще завърша, по мой обичай, с обобщение:
Простата красота си прилича с красивите хора - може и да изглежда проста, но не е толкова проста колкото изглежда. Гледайки красивото ѝ лице, не забелязваме скритите ѝ черти, вкл. трудния ѝ характер.

Стегни се, човече! Имаш проблем за решаване!

2/14/2023

Препрочитам си саркастичния текст "Рок-музика и дебилност" и изведнъж, сякаш отникъде, ми хрумва това:
Кой ли е минималният брой думи, образуващи смислено изречение с максимален брой повторения на думи?

Английският, сякаш, е най-подходящ за конструиране на такова изречение. Сещам се за Man up, man! На нашенски, Стегни се, човече! Не мога да се сетя за нещо подобно на български, освен за Стягай си гащите, гащник! Само дето тук има една дума повече, а и повторението не е съвсем повторение.

Хрумна ми и идея за целочислена редица, с общ член дефиниран така: Минимално просто число с n повторения на някоя от цифрите. За жалост, оказа се че и този път съм "открил" топлата вода.

Задача за маниаци с маниашки компютри

2/8/2023

Гледам че преди 6 месеца съм измислил интересната целочислена редица OEIS A355371: Числа равни на сумата на първите R неквадрати и първите S квадрати (за някакви стойности на R и S).

За пример: 1+4+9+16+25+36 = 2+3+5+6+7+8+10+11+12+13+14 = 91

Първите 5 такива числа са: 5, 91, 506, 650, 11440. За шестото казват че ако го има, то е по-голямо от 10^20. Колко по-голямо?