|
Да се намери естествено число К, такова че:
1) К > 6 и 2) произведението на К и К-тото просто число е равно на Т, такова че Sqrt(8*T + 1) е естествено число.
0 Comments
На Димитър Стефанов, комуто се понравиха тъпите ми теореми, посвещавам следната (освен тъпа, тя е и много стара):
Броят на четните и нечетни цели неотрицателни числа несъдържащи Е в името си е равен. И като го написах се сетих че един китайски програмист беше сложил в блога си мое доказателство на чуждо предположение, свързано с имената на числата. Адресът на блога нещо ми се губи, но оригиналът е тук. Не, не става дума за тъпоъгълни триъгълници, а за имената на числата в българския: Името на всяко число съдържа по-кратка валидна българска дума.
Пример: проЧЕТИ ЧЕТИри! Имам и тъпо предизвикателство: Да се намерят речниците на възможните думи за целите числа от 1 до 10^n С някаква детинска цел, написах програмка от 2 реда, за която опитен новозеландски програмист сподели че му е отнело време да разбере какво прави (по-скоро как го прави). В интерес на истината, аз изобщо не я разбирам, а и не бих си причинил мъката да я разбера. Просто я сглобих от 1 ред чужда* измислица и от 1 ред моя**. Сигурен съм че на новозеландеца му се е опънала чуждата част.
Е, ако бях ползвал моята***, станала вече известна, измислица, то програмката щеше да работи 40 пъти по-бързо. И щеше да е лесно разбираема. Но нямаше да е на 2, а на цели 3 реда. Изводът: Елегантността винаги се плаща. В облеклото - с пари, в програмите - с време. Както е казвал Карл Фридрих Гаус (макар и в друг контекст): "Да пишеш кратко отнема повече време от това да пишеш дълго." _______________________________________ * но пак българска ** по-долу d[n_]:=Flatten[Cases[FrobeniusSolve[{1,1},2*n],{__?PrimeQ}]];e[n_]:=Intersection[d[n],d[n+1]]; f[n_]:=If[e[n]=={},0,Max[e[n]]];f/@Range[2,100] *** по-долу gold[x_]:= Module[{h=x/2,lst ={}},While[h>1,If[And[PrimeQ[h],PrimeQ[x-h]],AppendTo[lst,{h,x-h}]]; h--];lst]; d[n_]:=Flatten[gold[n]];e[n_]:=Intersection[d[2*n], d[2*(n+1)]]; f[n_]:=If[e[n]=={},0,Max[e[n]]];f/@Range[2,100] Писал съм тук че хората са частично наредено множество и не могат да бъдат класирани по важност. Което се дължи на това че класациите са невъзможни, поради наличието на различни критерии, всеки от които със (субективно) различна важност (които също са частично наредено множество и следователно, също не могат да бъдат класирани).
Сега ми хрумва че това може да бъде лесно демонстрирано с имената на двама известни математици: Ойлер и Ердьош. Нека се запитаме кой е по-продуктивният от двамата. Това е невъзможно да се установи. Ойлер е по-продуктивен по критерия "обща дължина на написаното", но Ердьош е по-продуктивен по критериите "брой написани материали" и "брой на съавторите". Що се отнася до важността, редовно слагат Ойлер сред четиримата най-важни математици за всички времена, а Ердьош няма шанс да се класира дори в десетката. Да, обаче за определяне на важността на даден съвременен математик понякога се използва неговият Ердьош-номер. Забележете, не Ойлер-номер, а Ердьош-номер. Е, как така, ще запитате, уж няма критерии за определяне на важността, а един от тях бил Ердьош-номерът. Продължавам да твърдя че няма и ще се аргументирам: Единственият български математик на когото е кръстено нещо е Благовест Сендов, а самото нещо е Предположението на Сендов. Сендов обаче не е сред шепата български математици с Ердьош-номер 3. Няма информация на него изобщо да му е изчисляван такъв номер. А ако го изчислим, то не се знае дали няма да излезе такъв, какъвто е номерът на почти всички българи, а именно + ∞. Да се намери цяло положително число, такова че:
а) положителните му целочислени делители могат да бъдат групирани в две непресичащи се множества с равни суми на елементите и б) 2 и 3 не са сред делителите на числото. Започнаха да споменават разни мои дребни открития във френски научно- популярни списания и блогове на китайски. Този месец се изкачвам в класацията и виждам името си на сайта на ETH - най-добрия европейски технически университет и алма матер на Айнщайн.
Алгоритъмът го измислих през 2011 г., но досега никой не го беше свързвал с името ми. "Грешката на художника" е поправена, вече има нещо кръстено на мен: Алгоритъм на Янакиев. Няма да забравя да благодаря отново на Пламен Антонов за реализацията на алгоритъма. Ако не беше той (и специалната страница на сайта му), нещата щяха да се забавят чак до 2014 г. (когато по неволя се научих да пиша кратки програмки). Гледам как британски студент по математика разсъждава за аритметични диференциални уравнения. Дали ги учат на такива неща или е проявил самостоятелен интерес? Не знам. Може и да ги учат, все пак става дума за Британия.
Ние, българите, обитаваме дълбоката провинция. Не само че тук такива неща не се учат, но и терминът "аритметична производна" можеш да срещнеш единствено при творческо използване на езика от страна на одитори. Което е супер-рядко явление. Спомням си колко изненадан бях когато видях как български професор и 2 пъти доктор на науките се гордее че е измислил аритметичната производна през 1987 г. Не е вината в него - човекът в творец с главно Т, на който шапка трябва да се сваля. Виновни са неговите професори: не са го научили че има неща, които няма как да не са измислени преди теб; че има начини за търсене на подобни неща. Както казваше един друг умен българин, който не доживя да стане професор: Грамотен е не онзи, който знае наизуст закона (който със сигурност вече е изменен), не дори който знае, че въобще такъв закон има, а онзи, който подозира, че не може да няма такъв закон и знае, къде да търси, къде да намери и как да разтълкува този закон. В последно време, един от най-четените ми постове е този за меланхолията (и магическия квадрат) на Дюрер. Регистрирайки този факт, случайно се сетих за нещо съвсем различно, но и подобно - "Пъзел 15" от Сам Лойд. Комбинирайки двата проблема, сътворих Демоническия квадрат. Креативност? Може би, ама закъсняла: справка с литературата ми показа че това е просто вид магически квадрат с начално число А=0 и разлика D=1. Срамота, закъснял съм с 35 години!
За да свърша нещо, взех дюреровия Магически квадрат и го превърнах в Демонически квадрат (ДК = МК - 1): 15 2 1 12 4 9 10 7 8 5 6 11 3 14 13 0 Естествено, и тук се получава онази магия с трапеците и шестоъгълниците. Когато чула колко пари са дали за построяването на мощен телескоп, с който учените трябвало да намерят потвърждение на някаква теория, съпругата на Айнщайн сполучливо отбелязала: "Моят съпруг прави тези неща на гърба на пощенски плик".
В книгата "Кодът на креативността" от британския математик Маркъс ду Соутой, издадена миналата година, чета как наставляваният от Саймън Колтън и Стивън Магълтън изкуствен интелект открил рефакторируемите числа и предположил че нечетните такива са точни квадрати (без да може да го докаже). Впоследствие Колтън публикувал статия, в която дал доказателство. Да беше жива, съпругата на Айнщайн щеше да каже: "Това нещо Ванчо го е открил и доказал с 2 реда текст, без да използва математически символи и изкуствен интелект, и без да пише статии в научни списания". А аз бих добавил: "Спомням си как се изненада един немски професор на твърдението ми че числата с нечетен брой делители са точни квадрати; сякаш не беше чувал за функцията сигма_0(n) и формулата за изчисляването й." Казват че хората били два вида: 1. такива, които делят хората на два вида и 2. такива, които не го правят. Аз уж съм от втория вид, но това не ми попречи да разделя на два вида простите числа. Вземаме везна и маркираме блюдата с + и -. Задаваме си въпроса "Има ли неизползвано просто число, което ще балансира везната ако го сложим на блюдото +?". Ако отговорът е да, слагаме това число на блюдото +, ако е не - слагаме най-малкото неизползвано просто число на блюдото -. Интересни въпроси: 1. Ще се стигне ли до момент, в който няма да има какво да слагаме на блюдото +?  2. Можем ли, освен на ниво "везна", да балансираме простите числа и на нивото на двете отделни блюда? С други думи, може, ли да делим блюдата на отделни подблюда (а подблюдата - на подподблюда)? Докога?  Гледам какво съм писал на 2 февруари тази година. Мери Самървил, само това ли успя да ми хрумне? Как точно аз - "специалистът" по палиндромите - не видях че датата е палиндром? Други са били по-наблюдателни и са установили че (имайки предвид това че различните народи използват различни формати на датите) за последно сме имали такъв "световен" ден преди 909 години - на 11.11.1111.
Е, успокоявам се, ако бяха с чак толкова остри погледи, то щяха да видят че: а) И 909 е палиндром. б) Следващият палиндромен ден, макар и не световен ще бъде след година - на 12 февруари 2021 - за българите, и след година и 10 месеца - на 2 декември 2021 - за американците. Ха сега кажете че не сме ги стигнали и задминали! Хрумва ми и въпрос, ама понеже е 2:16 през нощта, та оставям отговорa за друг път: Чий формат на датата (като следствие на Закона на Бенфорд или на нещо друго), дава възможност за по-чести палиндромни дати - нашият или американският? 19-годишният китарист Dewey Bunnell създал най-простата песен в историята на рока - хитът "A Horse with No Name". Песента се състояла само от 2 акорда, но единият от тях бил загадка за теоретиците: те не разбирали как един самоук китарист може да стигне до главоблъсканицата наречена Dadd6add9, която била извън класацията "40 най-популярни акорда за рок-китаристи". А нещата били елементарни: авторът търсел лесен начин за подреждане на пръстите си, който освен всичко друго да звучи добре. Така се родил най-големият хит на групата "Америка".
И аз съм самоук, та затова едва сега ми хрумва че от години се занимавам с Диофантови уравнения. За тях знам само 2 неща: 1. че се интересуваме от целочислените им решения, и 2. че за тях няма общи теоретични подходи, а "нападението" трябва да е специфично за всяко "нападнато" (уравнение или система от уравнения). Това непълно знание получих късно, което не ми попречи, подобно на Дюуи Банел, да започна математическите си импровизации с решаване на мои собствени диофантови уравнения (пример тук). Сега ми хрумва че дори и най-известното ми откритие (хипотезата, за която писаха тук) може да бъде записано като система от уравнения, при която се търсят естествени числа n, такива че: p(n) = r(p(n)) p(p(n)) = r(p(p(n))) където: а) с p(n) означаваме n-тото просто число, б) с r(n) означаваме обърнатото наопаки n. За любителите на загадките: хипотезата ми е че единствено числата 1, 2 и 3 са решения на горната система от уравнения. Thinking is similar to moving in two-dimensional space. Intelligence drives you forward, imagination drives you sideways. When there is no way forward, sideways travel is recommended.
Perfect numbers were discovered about 2500 years ago, but human intelligence has not revealed much about them. It is not known whether their number is infinite or whether there are any odd perfect numbers. In the early 21st century Reinhard Zumkeller pressed the pedal of his imagination and generalized the perfect numbers. Instead of unsuccessfully searching for proofs for the infinitude of the perfect numbers, mathematicians started thinking about the Zumkeller numbers and finding interesting things about them. It is now known for certain that there are infinitely many Zumkeller numbers, that some of them are odd, and that out of every 12 consecutive natural numbers at least one is a Zumkeller number. Elementary, my dear Watson, when you can't go forward and find something about a second thing, you can go sideways and find a third thing about a fourth thing. Древногръцките математици мислели за математиката като за рожба на линията и пергела. Това били разрешените инструменти и не е чудно че имало доста неразрешими и неоткрити неща. Например, нулата за която, освен линия и пергел, се искала и вяра в съществуването на нищото.
По-късно, математиката приватизирала разни (дотогава) нематематически инструменти, направила ги математически, открила нулата, а и много други неща. Остава, обаче, въпросът: "Сигурни ли сме че днешните инструменти на математиката са достатъчни за да може тя да върши тежкото си и благородно дело?" За момента, отговорът успокоява. Математиката не е спряла да колекционира инструменти; в днешно време тя, освен събирането, умножението, диференцирането и интегрирането, ползва и инструменти взети сякаш от работилницата, чертожната и плод-и-зеленчука: залепването (конкатенирането), изрязването (изтриването), прегъването (говоря за оригами-математиката), преобръщането (говоря за палиндромите), сортирането и какво ли още не. Например, въпросът за намиране на частното Удвоена сума на делителите на n __________________________________________ Сума на нечетните делители на n където n и съответните делители са естествени числа, може да се реши не само с умно използване на Теорията на числата, но и с механично използване на инструмента побитов XOR върху двоичните числа 2n-1 и 2n+1. Въпросът е дали нещата ще продължат да бъдат такива, каквито са били досега, т.е. дали математиците ще могат да намират все по-нови и подходящи инструменти? P.S. Математикът Dana Mackenzie описва в кигата си The Universe in Zero Words притесненията си за бъдещите постижения на математиката, но той ги разглежда като функция на друга променлива (не на инструментите, а на наличните обекти за откриване): Дали 21-ви век ще разполага на склад с монументални изненади от сорта на квантовата физика, теорията на хаоса и Теоремата на Гьодел за непълнотата? Невъзможно е да се предскаже, но на мен гореизброените ми напомнят за океани, които могат да бъдат преплувани за пръв път само веднъж. На географите им свършиха континентите за откриване, и изглежда възможно математиците да се сблъскат със същия проблем. Творчеството сякаш няма граници. Преди десетки хиляди години А измислил броенето. Казват че бил овчар и носел торбичка с камъчета. Когато вечер прибирал овцете, за всяка прибрана овца той отделял по камъче. Ако в торбичката останели камъчета, това значело че има изгубени овце и А тръгвал да ги търси. Ако камъчетата свършели преди овцете, то А очаквал визита от някой съсед - да си търси овцете.
Творчеството сякаш няма граници. Минало време. Б решил да си спести носенето на камъчета и измислил имена за броенето: една овца, две овци, три овци. По-късно В решил да си спести повторенията (овци, овци, овци) и ги пропускал. Така В измислил числата: едно, две, три. Творчеството сякаш няма граници. Минало време. Понеже числата винаги се появявали слухово подредени, Г решил да ги подреди визуално. Така се родила линията на числата. Няколкостотин години преди Христа, китаецът Д се сетил да подреди числата в две измерения; така се родил магическият квадрат. А хората започнали да измислят какви ли не неща за него. Творчеството сякаш няма граници. Минали 2 хилядолетия. На К му се сторило че заниманията с магически квадрати са стигнали до преливане от пусто в празно. Той решил да подрежда числата в магическия квадрат триизмерно. Всяка клетка от квадрата получавала височина, равна на числото в нея. Магическите квадрати заприличали на квартали в Ню Йорк. Творецът К не спрял дотук. Той видял че падне ли дъжд в някои квартали, водата се оттича. В други квартали водата се събира. Така К сътворил концепцията за водозадържането. Сега въпросът бил: "Колко вода ще се събере в квартала Х?" Ще кажете че творчеството няма граници и можем да очакваме подреждане на числата в 4, 5 и повече измерения, както и разни други операции с тях. Не бързайте, забравете за операциите с числата и помислете за операциите с водата. С нея извършваме същите операции, които е правил и А преди десетки хиляди години: търсим я и я намираме, пием я и се мием. Можем да я задържаме по-добре от А (в язовири и бутилки), но я харчим повече от него. И най-важното: подобно на А, нямаме сили да произвеждаме вода (въпреки че уж знаем как). Творчеството, колкото и да не ни се ще, има граници! Вижда треската в чуждите очи, а гредата в своите не вижда.
Българска поговорка Американски психолози от елитни университети (Чикагският и UCLA) написали хубава статия, в която критикуват слабостите на американското средно и полувисше (от типа "community college") образование, и в частност - образованието по математика. Учениците и студентите били приучвани на сляпо прилагане на наизустени алгоритми, а не на това кога и как да ги прилагат и не на това как да изграждат връзки между базови математически концепции. Звучи ли ви познато? Значи сте чели някои неща от този блог или сте мислили по въпроса. Един от примерите на психолозите: студент трябва да постави дробта 4/5 на числовата линия; поставя я по средата между числата 4 и 5. Ужасяващо, нали? За мен, обаче, най-ужасяващи се не толкова отговорите на студентите, колкото въпросите на учените. Един от тях е: "Кое е по-голямото число: а/5 или а/8 ?" На този въпрос смогнали да отговорят "правилно" едва 53% от студентите. Едва 15% от студентите се опитали да разсъждават: "Aко разделиш два еднакви хляба на 5 и 8 части, частите на кой хляб ще са по-големи?" Захласнати в порива си да анализират и оправят американското образование, психолозите не са забелязали че (подобно на студентите) са били в плен на "слепи" алгоритми и че (подобно на студентите) са забравили да разсъждават: > Числата не са хлябове; те могат да бъдат отрицателни, което преобръща верния отговор на 180 градуса. > Още по-лошо, числата могат да бъдат комплексни, което напълно обезсмисля въпроса кое е по-голямо. С други думи, получила се е ситуация от вида "на тъп въпрос - тъп отговор". Накратко: В щатите средното, полувисшето и висшето образования (вкл. докторските програми по психология) имат проблеми да научат студентите на базовите математически концепции и връзките между тях. Сега разбрахте ли защо започнах с поговорката за треската и гредата? След като обучавал музиканти от Чикагския симфоничен оркестър на джаз-импровизация, майсторът на класическата и електрическата китара Jack Cecchini казал: "По-лесно е джазмен да се научи да изпълнява класически произведения, отколкото класически музикант да се научи да свири джаз. Защото джазмените са креативни, а класиците - рекреативни."
Тези дни открих ненаправена досега и неочевидна връзка между обекти от Абстрактната алгебра (групи) и обект от Теорията на числата (създадена през 21-ви век генерализация на перфектните числа). Странната връзка предизвика интереса на американски математик, който ме попита къде в мрежата може да се види доказателството. Естестено че нямаше къде, и за да довърша това което бях установил интуитивно и проверил опитно (за повечето случаи) с чужда програма, сглобих доказателство (за най-трудните случаи) на базата на чужди теореми. Заради "либералното" използване на чужди неща в доказателството се питам: креативен ли съм бил или рекреативен. И се успокоявам че съм бил креативен: използвал съм чужди инструменти за да свиря собствена музика. 1. Вземете [n], т.е. {1, 2, ..., n}, т.е. множеството на естествените числа от 1 до n.
2. Избройте подмножествата на [n], които не съдържат уДВоен свой елемент. 3. Избройте подмножествата на [n], които не съдържат уТРоен свой елемент. Не е ли изненадващо че за изчисляване броя на подмножествата по т. 2* има формула, а за тези по т. 3** - няма? ______________________________ * OEIS A050291 ** OEIS A050293 Лаиците си нямат идея какво и за какво говорят. Когато чуеш някоя тетка да ломоти за негативна енергия, трябва да си сигурен че тетката не е запозната с физиката и няма идея какво означават думите негативна и енергия поотделно, хеле пък заедно.
Специалистите имат някаква представа за това какво и за какво говорят, но това не значи че представата им е детайлна и правилна. Ако един специалист ти каже че инфинитарните перфектни числа са цумкелерови числа, това може и да е вярно. Въпросът е знае ли специалистът какво са цумкелеровите числа и какво са инфинитарните перфектни числа. Естествено че знам, ще рече специалистът. Цумкелеровите числа са числа, делителите на които могат да бъдат разделени на 2 непресичащи се множества с равни суми на елементите. Инфинитарните перфектни числа пък са числа к, сумата от инфинитарните делители на които е равна на 2к. Брей, знае си урока, ще кажете, и няма да се сетите да го попитате дали знае какво са инфинитарните делители на к. И ще сбъркате, защото може да се окаже че не знае. Елементарно, Уотсън, специалистът не знае всичко (включително и това че не знае всичко). Затова той много често си мисли че знае всичко (по което си прилича с лаика). Сеща се Спирос за един професор по математика, който му разправяше как изкарал най-лесните 1000 лева в живота си: на някакъв гъзар му отрязали европроекта заради грешна математическа аргументация; гъзарят се свързал с професора, който не пипнал нищо по проекта, а само проверил елементарните сметки и видял че на едно място трябва да има плюс вместо минус. Сеща се Спирос че и той самият изкарваше най-лесните пари в живота си по същия начин: като член на борда на директорите на една компания, вместо да се прави на интересен на акционерите заради някои неразумни политики, той се правеше на интересен на главния финансов директор - заради грешки във формулите за оценка на инвестициите в ценни книжа.
Замисля се Спирос за това може ли един проект да завърши добре ако математиката му е грешна. Странно е, но има такива проекти: проектите, в които няма нужда от математика; проектите в които тя се появява само за да покаже колко компетентен е някой гъзар или финансов директор. Поправяш грешните формули, но нищо друго в проекта не се променя: нито очакваната печалба, нито датата на приключване. Виж, един проект не може да завърши добре ако идеята му е грешна. Един такъв проект е проваленият проект на българската училищна математика. Там целта е да накарат учениците да наизустяват и упражняват до побъркване разни алгоритми, вместо да ги научат да мислят в кои случаи да прилагат наизустените алгоритми и как*. Да вземем за пример събирането, за което 7 милиона българи си мислят това: 3 милиона българи + 4 милиона българи = 7 милиона българи. Да, ама не! Няма алгоритъм, вкл. математически, в резултат на който да получиш 7 милиона българи накуп. С думите на математиката: множеството на причините способни да обединят всички българи в едно множество е празно множество. Независимо от това какво пише в учебниците им или над вратите на парламента им. И тук Спирос бива осенен от просветление, чийто резултат си записва в тефтера под заглавието "Българският парадокс": Съществува нещо, което обединява 7 милиона българи в едно множество, и това е неумението им установят че е невъзможно да са елементи на едно множество. __________________________________________________________________ * да не говорим че не ги учат да измислят собствени алгоритми за досега невъзниквали случаи Понякога въображението може да види неща, които очите не могат, например атомите и вирусите. Те са били открити от човешкото въображение и едва след това са били видени с очи (и микроскоп).
В други случаи, без помощта на очите въображението е безпомощно. Можете ли да си представите защо за n>1, n елипси могат да разделят равнината на повече части, отколкото n окръжности? За тези, които се интересуват: 1. максималният брой части на които n окръжности разделят равнината е n^2 - n + 2 2. максималният брой части на които n елипси разделят развнината е 2n^2 - 2n +2 Задача с превишена трудност:
Да се намери n>58, такова че десетичното 5^n да не съдържа 0. Питагоровата тройка (3,4,5) се състои от триъгълното число 3, квадратното число 4 и пентагоналното число 5. Други такива тройки са (9,12,15), (100,105,145) и (900,2625,2775). Да се намери поне една от следващите тройки!
Обаждам се на приятел да го поздравя по случай рождения му ден. Разговорът е симетричен: започва с моите пожелания и завършва с неговите - да съм публикувал нещо математическо. Как да му кажа че математическите ми открития са несвързани едно с друго и имат средна дължина от 2 изречения? Такива неща никой не публикува. Затова ... решавам сам да си публикувам нещо старо, отпреди 7 години. When he was a 5-year-old boy Andrey Kolmogorov asked questions like How many distinct patterns can you create with a thread while sewing on a four-hole button? Unfortunately, there is no information on the Web what the answer was and had Kolmogorov found it himself. In a book about Grigori Perelman, Masha Gessen admitted that two professional mathematicians, both former students of Kolmogorov, had given different answers. We found the number of patterns p in several cases where single-color thread was involved. We also found the number of patterns in several cases where threads of different colors c were used, including the case where the buttonholes were located on the vertices of a generic convex n-gon (i.e. a convex n-gon with no more than two diagonals intersecting at any point in its interior). Now, let us try the more complicated case involving different color threads and buttonholes located on the vertices of a “plain vanilla” regular convex n-gon and then generalize our findings with respect to all convex n-gons. Assumptions: A1. It is mandatory to utilize the buttonholes. There are many ways to sew on a button without utilizing the buttonholes but let us forget about them for the time being. A2. All n buttonholes are located on the vertices of a regular convex n-gon. A3. Different-color threads might be used for different segments between the buttonholes. A4. Only buttonhole-to-buttonhole connections are used. No cross-border connections are allowed. Calculation: 1. Some of the regular convex n-gons are generic ones – those, whose number of vertices is an odd number (n = 2*q + 1) plus the square, where n = 4. We have already found (see OEIS A209916) that for the generic convex n-gons the number of patterns p is p = ((c+1)^((n-1)*n/2) * (c*(c-1))^C(n, 4)) - 1 as all possible intersections totaling C(n, 4) must be counted twice when two differently painted diagonals, totaling c*(c-1), intersect (as two different patterns exist for every two colors, which you can see below).  Now we will cover those regular convex n-gons where n is an even number greater than 4 (i.e. when n = 2*q and q > 2). 2. Thanks to Bjorn Poonen and Michael Rubinstein and their article “THE NUMBER OF INTERSECTION POINTS MADE BY THE DIAGONALS OF A REGULAR POLYGON” we know some things about regular polygons that we can use now: a) When n = 2*q the number of diagonals intersecting at a point (except for the center of the n-gon) may be 2, 3, 4, 5, 6 or 7; b) When n = 2*q the number of diagonals intersecting at the center of the n-gon is n/2. 3. The number of intersection points I(n) of the diagonals can be represented in the following manner: I(n) = i(2)+i(3)+i(4)+i(5)+i(6)+i(7)+i(n/2), where i(k) (k = 2, …, 7) is the number of points where k diagonals intersect and i(n/2) is the center of the regular n-gon where n/2 diagonals intersect (in the case of n = 2*q, q > 1). Therefore, i(n/2) must be separately counted only in the cases where n = 2*q and q > 7. 4. In it. 1 above, we saw that two different-color threads (e.g. red and green) look differently when the threads intersect (depending on which one is on top of the other). The same is true when the number of different-color threads is 3, 4 and more (see below how many patterns are there when three differently painted diagonals intersect at a point).  Therefore, when trying to find the number of different patterns, it is not enough to count the number of edges and diagonals. We also have to count twice the cases where two different-color diagonals intersect, three times the cases where three different-color diagonals intersect etc. 5. Based on it. 2-4 above the formula in it. 1 above takes the following form: p = (M1*M2*M3) - 1, where  and where -1 stands for the case when the button is attached to the cloth only by “0-color” threads, i.e. the case where the button is not attached at all.
6. This formula could be used for any convex n-gon, as long as we remember that in the cases of n = 2*q + 1, as well as in the cases of n = 2*q and q ≤ 7, we do not need to multiply by the third term (i.e. by M3) as the central intersection point either does not exist (when n = 2*q + 1) or had already been handled (when n = 2*q and q ≤ 7). |
Categories
All
Archives
July 2020
|
RSS Feed
