Category: Mathematics - mISLANDia

Happy Ending Problem for Beginners

11/4/2018

The Happy Ending problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:

There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This simple theorem has a simple proof but, as the unheard of and complex concept of the so called convex hull is involved, the proof could be unintelligible to non-mathematicians, high school students inclusive. So, here is the simplest proof of mine, in which you can meet the familiar points and lines only.

Let us think about the five points as of two lines and an extra point. Line l1 is defined by P1 and P2, line l2 is defined by P3 and P4, and P5 is the extra point. There are only 3 cases to consider:

Case 1. Neither line intersects the segment between the points on the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 2. Each line intersects the segment between the points of the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 3. Only one of the lines intersects the segment on the other line. Let us assume without loss of generality that l1 intersects the P3P4 segment of l2. P5 can be in any of the 18 parts of the plane, but fortunately those parts are of only 2 types, O (coming from Other) and S (coming from Same). O means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the other half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P2P4 allowing us to build the convex quadrilaterals P2P3P4P5 and P1P2P5P4).

S means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the same half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P1P2 allowing us to build the convex quadrilateral P1P2P5P4).

We have just exhausted all possible arrangements of two lines and a point in a plane and proved that a convex quadrilateral can be built in each and every one of them. Q.E.D.

Unlucky Arithmetic Challenge

10/5/2018

Find a prime number p, such that all digits of 13*p are the same.

Бочо играе тенис

9/4/2018

Бочо поискал пари от баща си за нов компютър, но дъртият се опънал и му поставил условия:
1. Да изиграе 3 мача на тенис с по-големия си брат Ачо и по-малкия си брат Вичо, като редува съперниците, и
2. Да спечели 2 последователни от 3-те мача.
Изпълни ли условията - получава парите.

Бочо играел редовно тенис срещу братята си и добре знаел че и двамата са го побеждавали, а и че той ги е побеждавал. И все пак, Ачо го е побеждавал по-често отколкото Вичо, защото от тримата Ачо бил най-голям и опитен в тениса, а Вичо - най-малък и неопитен. Как (и защо) Бочо да избере съперниците така че да максимизира вероятността за 2 поредни победи:
а) Ачо, Вичо, Ачо, или
б) Вичо, Ачо, Вичо?

Шах със зарчета

8/4/2018

Какво виждате на петата страна на едно зарче? Ето това!

А можете ли да го видите върху шахматна дъска? Естествено! Колко пъти го виждате? А ако дъската е не 8x8, а NxN квадратчета?

Happy ending problem: 3+3=5

7/12/2018

The Happy Ending Problem is the following simple statement:

Given any five points on a flat surface that are in general position, i.e. no two of them coinciding and no three of them on a straight line, prove that four of these points will always form a convex quadrilateral.

This is the latest proof of mine:

1. Let us start with the observation that a line can intersect three edges of a triangle at most (see below). The number of intersected edges can be zero, two or three, but the number of intersection points can be zero or two (point of entry and point of exit).

2. An edge (or its extension) of a triangle can intersect three edges of another triangle at most (see 1 above). In the extreme case where every edge (or its extension) of the intersecting triangle intersects three edges of the intersected triangle (see below):
a) The number of intersection points is six, i.e. the maximum, and
b) Any vertex of any of the triangles is collinear with two other vertices.

3. As any three points in general position form a triangle, any five points in general position form two triangles sharing a vertex. At least one of the edges (or their extensions) of the intersecting triangle (let us call it a "useful edge") intersects two edges of the intersected triangle at most (otherwise we have a contradiction with the general position requirement, see 2b above). In other words, a useful edge (or its extension) does not intersect at least one edge of the intersected triangle (let us call it a “useless edge”). On the other hand, the useless edge (or its extension) does not intersect the useful edge (otherwise the number of intersection points would be more than six, a contradiction with the general position requirement, see 2a above). Therefore, by connecting this pair of (useful and useless) edges we can form a convex quadrilateral (see below). Q.E.D.

Prime factorization and concatenation challenge

7/4/2018

Every positive integer greater than 1 can be uniquely represented as a product of primes. For example, 12 = 2 * 2 * 3, and 2^2 * 3^1 is called prime factorization of 12. Let f(n) be an arithmetic function that first collects the exponents in the prime factorization of n (2 and 1 in our example), then collects the primes (2 and 3) and then concatenates them in that particular order (2123). In other words, with
n = 12, f(n) = 2123.

Are there any numbers n, such that n = f(n)? 25? OK. Any other?

Mатематически олимпиади

6/4/2018

В подготовката за, а и в самата математическа олимпиада, ти дават задачи, за които се знае че имат решение, с надеждата че когато пораснеш и се сблъскаш със задача, за която не се знае дали има решение, ти ще допуснеш (на база на опита си) че задачата има решение, и вместо да се откажеш, ще се захванеш да я решаваш. Което освен положителни има и отрицателни последици.

Днес имам още един възможен отговор на стария си въпрос:
Q: Защо повечето деца, спечелили медали от математически олимпиади, тънат в математическа неизвестност?
A: Защото са се захванали с решаване на нерешаеми проблеми, за които си мислят че са решаеми единствено заради успешния си олимпийски опит. Не е имало кой да каже на умните деца, това което се казва на малоумните инвеститори: "Миналото представяне не е гаранция за бъдещи резултати".

За Гаус, ама по друг начин

5/2/2018

Преди 2 дни прогресивната световна общественост чества годишнина от рождението на Карл Фридрих Гаус. Стотици журналисти и блогъри ни припомниха кой беше Гаус и какво направи за човечеството. Аз пък се сещам за нещо, което Гаус не направи.

В разговор на тема математика някой споменал на Гаус за Предположението на Голдбах. "Какво толкова се прехласваш, на момента мога да ти измисля 4-5 такива", казал Гаус и ... не измислил нищо.

Игра с прости числа

3/2/2018

Джоузеф Елис Тревър (1864-1941) бил професор по физикохимия в университета Корнел. Освен с обикновени атоми, обичал да си играе с прости числа (атомите от които е изграден светът на числата). Така се родила следната загадка:
Като се има предвид че всяка цифра, означена с въпросителна е просто число, да се намерят множителите и резултата.

Открих решението на загадката, но нали съм математик по душа, та се замислих за следното:
Дали за всяко просто число P1 може да се намери друго просто число P2, такова че произведението им да се състои само от цифри, които са прости числа?

Намерих отговора относно първите прости числа, но се оказва че (според видния математик Нийл Джеймс Александър Слоун) като цяло въпросът бил непосилен за съвременната математика.

Невидимите допускания, 2

2/26/2018

Животът е поредица от катастрофи. Постоянно се сблъскваме с хората, автомобилите им, идеите им и институциите им. Понякога се сблъскваме и с математиката: дадено е това, да се изчисли/докаже онова. Прочитаме проблема, запретваме ръкави и се втурваме напред.

Някои хора са като раците – могат да вървят и назад. Когато им кажат „дадено е това“, вместо да се втурнат напред, те се оглеждат назад. Знаят че „истината, цялата истина и нищо друго освен истината“ се дава единствено в задачите за първи клас. Знаят че не са в първи клас и че много неща уж не са дадени, но могат да се видят с четене между редовете.

Ще дам за пример един проблем, измислен от Таня Хованова:

Измислих цяло положително число по-малко от 100, което се дели без остатък на 7. В добавък към тази публична информация, прошепнах на ухото на Алис колко са единиците на числото, а на ухото на Боб – колко са десетиците му. Алис и Боб са много добри в логиката, но разговорът може да ви се види нелогичен:
Алис: Не знам кое е числото.
Боб: Знам кое е числото.

Е, кое е числото?

Разни умни и учени коментатори са се впуснали да мислят за задачата, както и да пишат програми на разни програмни езици. Да, ама способността да пишеш програми на Python или Haskell не гарантира верността на решението ти. Какво да правим тогава?

Предлагам да прочетем условието внимателно и да намерим невидимите (неизречените) допускания:
1. Алис и Боб казват истината;
2. Става дума за състезание подобно на шаха: Алис е с белите фигури, а противниците се редуват. Победител е този, който пръв узнае числото.
3. Не можеш да пропуснеш реда си; наред ли си, то трябва да кажеш нещо (и то трябва да е вярно, вж. т. 1), дори да не е верният отговор.

Всяка информация е от полза на мислещия човек, без значение дали е голяма или малка. Алис би искала да може да каже първа кое е числото, но не е в състояние да го направи. Затова тя признава че не знае числото. Което означава че броят на единиците е число от списъка {1,4,7,8}. Признанието на Боб означава че броят на десетиците е едно от числата {2,4,7,9}. Което значи че числото на Таня е … защото …

Това е един от ключовете за бравата наречена „успешно решаване на проблеми“: да видиш невидимите за другите неща и да ги използваш, докато през това време те, запретнали ръкави, търчат напред и се правят че знаят какво правят. Или както го е казал нобелистът Алберт Сент-Дьорд: "... да видиш това, което всички са видели, и да мислиш за него така, както никой друг не е мислил".

Невидимите допускания

2/24/2018

Животът е поредица от катастрофи. Постоянно се сблъскваме с хората, автомобилите им, идеите им и институциите им. Понякога се сблъскваме и с математиката. Ако сме ученици, инженери или архитекти, сблъсъкът с нея идва в следната форма: дадено е това, да се изчисли онова. Ако сме математици формата е различна: дадено е това, да се докаже онова. Няма значение какви сме по професия, получим ли задачата запретваме ръкави и се втурваме напред.

Някои хора са като раците – могат да вървят и назад. Когато им кажат „дадено е това“, вместо да се втурнат напред, те се оглеждат назад. Знаят че „истината, цялата истина и нищо друго освен истината“ се дава единствено в задачите за първи клас. Знаят че не са в първи клас и че много неща уж не са дадени, но могат да се видят с четене между редовете.

През 1990 г. световна известност получава проблемът „Монти Хол“:
Представи си че си в ТВ-шоу и можеш да получиш „съкровището“ скрито зад една от три врати. Зад една от вратите има скъпа кола, а зад другите две има по една коза. Избираш врата, напр. врата 1, и водещият на шоуто, който знае какво има зад вратите, отваря друга врата, напр. врата 3, зад която има коза. Той ти предлага възможността да избереш врата 2. Ще промениш ли избора си?

Много хора, включително математици отговарят че няма смисъл да промениш избора си, тъй като вероятностите и в двата случая били равни. Сред тези хора бил и Пал Ердьош – най-продуктивният математик на всички времена. Не само че не бил прав, но дори и не разбрал неколкократните опити на приятеля си Андрю Важоньи да му обясни решението.

Ако четем между редовете на задачата, ще ни е лесно да намерим решението. Да разгледаме няколко въможни алтернативи на играта:
Алтернатива 1. Ако колата беше зад вратата, която сме избрали, и водещият отвореше нашата врата, то ние не бихме променили решението си и бихме спечелили колата.
Алтернатива 2. Ако колата не беше зад вратата, която сме избрали, и водещият отвореше нашата врата, то ние бихме променили решението си и бихме увеличили значително шансовете си да спечелим колата.
Алтернатива 3. Ако колата не беше зад вратата, която сме избрали, и водещият отвореше вратата с колата, то ние бихме променили решението си и бихме спечелили колата.

Водещият и шоуто нямат стимул да играят играта по горните три начина, понеже не биха издържали финансово в дългосрочен план. Откъдето следва че задачата трябва да е структурирана така:
Водещият, знаещ какво има зад всяка врата, трябва да:
а) няма възможност да отваря вратата избрана от участника,
б) е длъжен да отвори една от другите врати, зад която е сигурен че няма кола.

Казано с други думи, вместо да ви даде "голямата" информация – зад коя врата е колата, водещият ви дава "малка" информация – зад коя врата няма кола. А за хората с акъл в главата всяка информация (голяма или малка) е от полза. Оттук трябва да се подходи към проблема, а решениетото е съвсем близо (и затова спестявам детайлите): за препоръчване е да промените избора си.

Това е един от ключовете за бравата наречена „успешно решаване на проблеми“: да видиш невидимите за другите допускания и да ги използваш, докато през това време конкурентите ти, запретнали ръкави, търчат напред слепешката.

Бягство от непрозрачната гора

12/16/2017

Има един проблем, който от 101 години се опъва на световната математика. Нарича се "Проблемът с непрозрачната гора" (Opaque forest problem). Ще се опитам да го опиша с мастило за първи клас:

Наследил съм квадратно парче земя със страна 1. За да го предпазя от лошите очи на съседите, аз трябва да го оградя. Целта е:
1. съседски поглед да не може да премине през земята ми и
2. оградата да е с минимална дължина (за по-евтино).
Формата и броя на сегментите на оградата, както и това дали сегментите са свързани един с друг или не, е по мой избор (стига да може да се изчисли дължината на оградата).

Ако искаме да опишем проблема с мастило за втори клас, то можем да сменим "квадрат" с "изпъкнал многоъгълник". Но за момента това не е толкова толкова важно, затова илюстрациите ще са с квадрати.

Източник: Уикипедия, Автор: Alexis Beingessner

Давам няколко примерни решения с дължина на оградата d:
а) горе вляво: d=4,
б) горе вдясно: d=3,
в) долу вляво: d≈2.73,
г) долу вдясно: d≈2.64.
Решението г) за момента се приема за оптимално, въпреки че това още не е доказано.

Лесно можем да забележим че в някои от решенията, ако се объркаме и останем в имота, то без да разваляме/прескачаме оградата нямаме път за навън (или пък пътят е неприятно дълъг). Затова нека да модифицираме проблема така:

Спазвайки изискванията да не разваляме оградата и да не я прескачаме, коя е минималната сума от дължините на: 1) оградата (черни линии) и 2) пътя от точката, максимално отдалечена от незаградена страна на имота, до същата страна (червени линии).

Тук нещата са по-различни: сумарната дължина на черни и червени линии при вариант в) е по-къса от тази при вариант г). Съществува ли вариант с още по-малка сумарна дължима?

Източник: Уикипедия, Автор: Alexis Beingessner, Модификация: моя милост

Divisor functions: An educated guess by an uneducated person

12/8/2017

Let k be a non-negative integer, n be a positive integer and

be the sum of the k-th powers of the positive integer divisors of n. Let

be the sum of the k-th powers of the odd positive integer divisors of n.

Is it true that for every k and n the latter sigma divides the former sigma? In other words, is it true that for every k and n

I believe it is true.

An amazing property of the natural numbers

11/25/2017

I found today that
The sum of odd divisors of any natural number divides the sum of all its divisors.

In the language of the OEIS
For every n, A000593(n)|A000203(n)

As one can imagine the margin is too small to contain the proof.

Number nine

11/12/2017

Nine is the only natural number n such that the sum of the digits of the first n natural numbers and the sum of the digits of the next n natural numbers are equal.

Тъпанар, нЕкои дефиниции

10/9/2017

Човек, който си мисли че топологията е наука за оръдията.

Човек, който си мисли че ориентиран граф е благородник, който е наясно с нещата от живота.

Бързата кучка глупи ги ражда

9/19/2017

Да бързаш е тъпо, дори когато те гони глутница кучета. Идеята е да не показваш че си уплашен от кучетата. Бягаш ли, ти им казваш: "Аз съм уплашена жертва, гонете ме". Не трябва и да ги нападаш, a просто да им покажеш че можеш да се защитиш: вземаш голям камък, или още по-добре - тояга. Има и друг вариант: продължаваш да вървиш сякаш нищо не се е случило. За него обаче се искат топки. Изпробвал съм го успешно, но си признавам че кучетата бяха само три. А може и да не са били гладни.

Ситуацията е подобна и при мисленето. Дори то да е бързо, не трябва да го пришпорваш! И при мисленето става дума за S=V*t. С други думи, резултатът зависи не само от скоростта на мислене, но и от времето отделено за мислене. Колкото повече бързаш, т.е. колкото по-бързо спреш да мислиш (защото си решил че си мислил достатъчно), толкова по-зле.

"The Inquisitive Problem Solver" е книга с математически проблеми написана от професори-математици, сред които е и небезизвестният R. K. Guy. От нея е следният проблем:
Х и У са цели неотрицателни петцифрени числа, като Х>У. Числата са записани десетично, като при записването им са използвани всички десетични цифри. Може ли Х-У<250?

Алгоритъмът за конструиране на двойките от кандидат-числа е елементарен. По-трудното е да не си направиш изводите прекалено бързо, заявявайки с прекалена сигурност: "Разликата е винаги над 250". Авторите не са допуснали тази грешка; в раздела с отговорите те казват:
Разликата на всички двойки числа, освен една, е над 250. Тази двойка е .....
(тук в книгата има дефект и текстът не се чете).

Следният въпрос може и да звучи идиотски, но служи за проверка дали сте научили нещо от това което написах:
Бързали ли са професорите?

One conjecture a day, 110917

9/11/2017

Except for 1, all Ore numbers are Zumkeller numbers.

Thinking in four dimensions

8/22/2017

This is what Leonhard Euler found about the triangular numbers

This is what I found about the tetrahedral numbers

Can you find x=f(m), y=g(n) and z=h(m, n) such that there is a similar formula for the pentachoronal numbers

G. H. Hardy and Goldbach's Conjecture

7/23/2017

With my very eyes I saw how this Prometheus lighted his fire and can honestly tell you, gentlemen, it was nothing special. Any slacker or goatherd could do it …..
Apocryphal Tales, Karel Čapek

G. H. Hardy once said that any fool could have guessed Goldbach's conjecture. He was wrong since there had lived so many fools before Golldbach's time but none of them had guessed the conjecture (that is why Goldbach's name is attached to it).

One might think that any fool could have made G. H. Hardy's remark. But the reasoning in the first paragraph can be applied to the last sentence. Therefore, though G. H. Hardy's remark sounds foolish it is not true that any fool could have made it.

There is a vast area of foolishness reserved for the clever people. Blessed are the fools, for they are unable to explore this "special" area.

Преди и след съня

7/13/2017

Малка спретната операционна. Чува се музика. Лягам на масата. Започва да звучи "Don't Fear the Reaper" ("Не бой се от смъртта") от Blue Oyster Cult. Разсмивам се.
.....
Събуждам се замаян от упойката. Докато съм спал съм открил нещо прекрасно, свързано с "Проблема с щастливия край". Какъв край, след като излязох от операционната; това си е живо начало? Разсмивам се пак.

Математическа олимпиада?

7/1/2017

В България се провела Балканска олимпиада по математика. Оксиморон, та дрънка: доколкото си спомням Олимпиадите бяха състезания с участници от цял свят.

В Олимпиадата участвали 108 ученици, а всички българчетата спечелили медали: 1 златен, 11 сребърни и 6 бронзови медала. Което означава че медалите са минимум 33. Което, грубо казано, означава че всеки трети участник си е тръгнал с медал. Да не би да са забравили олимпийския принцип "Най-важното в едни Олимпийски игри е не да спечелиш, а да участваш"?

A simple arithmetic challenge

6/22/2017

Introduction
Let n be a natural number, D be the set of the divisors of n and sigma(n) be the sum of the elements of D. A number is a Zumkeller number if and only if D can be divided into two disjoint subsets D1 and D2 such that both sums of the elements of D1 and D2 equal sigma(n)/2.

Challenge
Prove (or disprove) that out of every four consecutive Zumkeller numbers there exists at least one number k such that sigma(k)/2 is also a Zumkeller number.

За простотата в числата и хората

6/12/2017

Колко прост трябва да е бил човекът, измъдрил термина "прости числа"? Какво просто има в простите числа? Никой, дори и най-умният, не може да разпознае просто ли е едно голямо число или не. Всеки, дори и най-простият, може да разпознае прост ли е човекът до него.

Глупостта не е безгранична, както е смятал Айнщайн. Безграничен е броят на простите числа, но глупостта има ясни граници. Глупостта на човека, превел първото, първичното или главното (πρώτος, prime) число като "просто число", спира до числата. Същият никога не би си позволил глупостта да преведе термина "премиер-министър" (prime minister) като "прост министър".

Матури по математика? За чий Х? За чий У?

5/12/2017

Близо 64000 четвъртокласника щели да се явят днес на "малки" матури по математика? Каква е ползата от това? Да разберем че мнозинството не знаят математика поради много причини, основната от които е че са природно неспособни? Знание ли е това?

Не е знание, но би могло да бъде. Ако матурата служеше за отсяване на плявата от зърното, и след нея математически способните започваха да учат засилено математика, а математически неспособните - нещата, на които са способни, то това щеше да бъде знание. Но отсяването няма да се случи. Всъщност, след матурата няма да се случи нищо, и следователно вместо да произведе знание, тя ще произведе само:
> излишни разходи на пари и време за провеждането й, и
> излишни нерви за децата и родителите им.

Има и друго нещо: мислите ли че една матура в края на 4-ти клас може да открие нещо, което вече не е открито от родителите и учителите на детето? И ако наистина не е открито от безидейни родители и учители, то вместо да ги сменим с други, ние му организираме матура, след която го оставяме отново в техните ръце.

weebly reliable statistics