Реалните хора са като реалните числа: уж почти всички са нормални, но aко се наложи да посочиш кои от известните са такива, ще срещнеш големи трудности.
Real people are like real numbers: almost all of them are supposedly normal, but if you want to point which well known ones are, you'll face great difficulties.
Реалните хора са като реалните числа: уж почти всички са нормални, но aко се наложи да посочиш кои от известните са такива, ще срещнеш големи трудности.
0 Comments
"Трагедията на остаряването е че човек се опитва да използва стари трикове в новите ситуации", казвал математикът Станислав Улам. Умен човек е бил Улам, но не съм сигурен дали е осъзнавал че това не е теорема. Защото е вярно само в някои от случаите.
Ще дам себе си за пример. Обичам да чета старите си блог-постове. От една страна, така ги доразвивам с добавяне на постскриптове или редактиране. От друга страна, така получавам идеи за нови блог-постове. Чудя се, след като съм установил че това върши работа, то защо не правя същото нещо с математическите си размисли. Защо не използвам този стар трик? Всъщност, за първи път го направих преди няколко дни. Зачетох се в нещо което съм писал незнайно кога, и така се "роди" последната ми целочислена редица, онази с многото перфектни числа. Така че ... понякога старите трикове са полезни и в новите ситуации, да ме прощаваш бай Улам. Въведение:
1. Перфектните числа са познати от хилядолетия като тези числа К, чиято сума на делителите е равна на 2К (например, числото 6). 2. Числата на Оре, познати и като хармонични числа, са числата чиято средно-хармонична на делителите е цяло число (например, числото 6). Доказан е фактът че перфектните числа са числа на Оре (без да са всички числа на Оре). 3. Нетривиалните делители (за целите на нашия пример) на едно число М са всичките му делители, с изключение на 1 и М. Изложение Вчера открих (без да докажа) интересно свойство на перфектните числа, което те споделят с поне едно неперфектно число на Оре (а именно, числото 6200). Свойство 1: Перфектните числа са числа на Оре, чиито нетривиални делители не са числа на Оре. Задача 1: Да се намери поне още едно число подобно на 6200, или да се докаже че такова не би могло да има. Пищов 1: Ако такова число съществува, то е по-голямо от 137438691328. Задача 2 Предполагам че по-интересният проблем е да се докаже че Свойство 1 е наистина свойство на перфектните числа. На пръв поглед, няма съществена разлика между пледоарията на адвоката и теоремата на математика, понеже става дума за детайлна аргументация. Замислим ли се, ще установим че разликата е в резултатите:
а) успешната адвокатска пледоария решава локален казус и води до оправдаване на един или няколко конкретни обвинени, докато б) успешната теорема решава глобален казус, т.е. оправдава всички "обвинени" - настоящи и бъдещи. Замислим ли се малко повече, установяваме че успешната теорема Х оправдава и минали "обвинени", т.е. теоремите които са били доказани при допускане на верността на Х, преди Х да е била доказана. Стаменко се е изправил пред студентите си и ги ограмотява по въпроси от комбинаториката с примери от практиката:
- "Като нямат хляб, да ядат пасти", била казала Мари Антоанет. Това са пълни глупости! Първо, това тя никога не го е казвала. Второ, това го е казал Русо. И трето, в оригинала става дума не за паста, а за бриош - френски пухкав хляб с повишено съдържание на масло и яйца. Кой ли неграмотен ваш прадядо реши да го преведе така? Сигурно е бил същият, който е превел френските макарони като ЦЕЛУВКИ, а италианската паста - като МАКАРОНИ. Така той е затворил "кръгa", когото математиците наричат DERANGEMENT, т.е. пермутация при която никой елемент не запазва оригиналното си място. В случая - оригиналното си име. И като се замислим ... Дали родината ни не е на това дередже, точно защото никой от нас не е на оригиналното си място, т.е. на мястото което заслужава? Може ли да се докаже че всеки изпъкнал многостен има поне две стени с равен брой ъгли? Ако ДА, то КАК? Ако НЕ, то ЗАЩО?
Математикът е човек, виждащ възможности за правене на математика, пише известният математик Иън Стюарт. Прекрасна мисъл, компресирала в няколко думи това, което негови колеги са се опитвали да изразят в продължение на векове.
Въпреки че ми липсват образование и специфични способности, горната дефиниция ме прави математик. Просто защото виждам възможности за използване на математика навсякъде, вкл. и при: а) мисленето за нематематически обекти, каквито са: баскетболът, девизът на Франция, копчетата, абстрактното изкуство, феноменът "пазарна капитализация", рок-музиката, политиката и какво ли още не; б) критичното анализиране на мисленето на: самия Иън Стюарт, Дьорд Поя, Нийл Дъгрес Тайсън, Джон "Красивият ум" Наш, Васил Левски, подполковник Марин Куцаров и Блага Димитрова. Талантът е такъв доколкото му го позволяват обстоятелствата. Везенков нямаше да забива топката, ако кошът беше на височина пет метра.
Има "спортове" в които "височината на коша" се променя по време на играта. Наскоро, в една игра на математика, това се случи с мен - височината на коша се повиши и вместо обещаното съавторство получих само благодарност (тук, на стр. 18). Така възможността да "забия" Ердьош-Бейкън-Сабат номер 10 (=3+4+3) отиде на кино. Ако мислим за креативността като за способност "да свържеш точките", то чувствителните хора възприемат света като място с повече точки и повече възможности за свързване, пишат Керълин Грегоар и Скот Бари Кауфман.
Това ме подсеща за времето когато сведох всички възможни взаимни разположения на 5 точки в генерална позиция (в Еклидовата равнина) до само три. Което навежда на мисълта че да виждаш сходството в привидно многото възможности за свързване на точките е също проява на креативност. Елементарно, Уотсън, веднъж креативността се проявява в конкретизиране, а друг път - в генерализиране. Накратко, креативността е в това да мислиш различно - както от другите, така и от предишното ти Аз. Доста родители смятат че математиката е инструмент, с чиято помощ децата им ще си намерят по-добра работа. Това разбиране е толкова грешно, че няма да го удостоим дори с термина "дърводелско".
Доста учени смятат че математиката е инструментът на науките. От една страна, това разбиране като че ли подценява значението на математиката. От друга страна, то е дърводелско. Какво имам предвид? Знаете какво правят дърводелците, нали? Използват инструменти си за да правят мебели, скелети на сгради, декори и какво ли не. Какъвто и майстор да е един дърводелец, каквито и "царски" мебели да е способен да направи, той е неспособен да направи инструментите си. За това е нужен майстор от по-висш порядък. Ами това е то ... математиката е майсторство от по-висш порядък. Без него учените, инженерите, архитектите и финансистите не могат да вършат работата си. А и в 99.99% от случаите не могат да си го произведат сами. Оказва се че в дърводелското разбиране на математиката има дълбок смисъл. Не е случайно че, въпреки че математиката не е наука*, никой не оспорва твърдението на Гаус че тя е царица на науките. ___________________________________________ * това виждане се споделя и от доста математици, сред които е професор Джефри Шелит (на стр. 2 тук) "Математиката е като нотирана музика. Важното е не да можеш да четеш музиката, а да можеш да я чуваш", казват авторите на филма "Опенхаймер" с устата на Нилс Бор. Добре са го казали, но малко са закъснели. Преди близо 4 години аз го написах така:
Големите хора са (не читатели, т.е. потребители, а) производители, те първо чуват музиката и виждат зависимостите в главите си, и едва тогава ги записват - под формата на партитури и формули. Послепис от 24.01.2024 Не мога да не добавя това изречение, взето от началните страници на "Мостовете на Медисън": "Първо трябва да усетиш образите, думите идват след това." Чета как Коко Шанел била дълбоко апофенична, както и че любимото ѝ число било 5. Виждала 5 навсякъде, представяла колекциите си винаги на 5-ти май. Точно това направила и когато представила пред публика ... познахте, парфюма "Шанел 5". Направила го на 5.5.1921 г.
Виждам дълбока апофенична връзка между Коко и мен. И аз съм запленен от числото 5. Даже имах епифания, откривайки Теорема за 5-орността на естествените числа. Да не говорим за различните ми доказателства (тук, тук, тук) на теоремата че в Евклидовата равнина 5 точки в генерална позиция гарантират построяването на изпъкнал 4-ъгълник между някои от тях. За кои стойности на n изразът sum(к=1..n, к!) приема стойност просто число? Защо?
Така, както любовта от пръв поглед понякога води до перфектно съчетание от типа "докато смъртта ни раздели", така понякога се случва и перфектно съчетание между задачата и човека, който я решава. Имам и подходящ пример: математикът Филип Сайдак и Евклидовата теорема (за безкрайността на простите числа).
Стига съм писал за чужди глупави грешки. Сега ще пиша за една моя. И така ...
Без много да мисля, запитах публично има ли просто число p(n+1), съдържащо като подстринг предходното му просто число p(n). Бързо ми отговориха че това е невъзможно: ако такова число p(n+1) съществува, то p(n+1) > 2*p(n), но съгласно Постулата на Бертран между p(n) и 2*p(n) винаги съществува друго просто число. Има полза и от глупавите грешки, рожби на прибързаното мислене. Моята, например, провокира следните размишления, които се надявам че съвсем не са глупави: Може ли човек да е това, което не е? Може, ще кажете, хората не са статични. Те се променят - понякога към добро, понякога към лошо. Целта е промяната да е към добро (в моя случай - към не толкова припряно мислене). Дотук добре, но ... ако всички можеха да се променят към добро, то защо всички не сме композитори като Бетовен и бегачи като Болт? Колегите ми по прибързано мислене веднага ще отговорят че не всеки иска да стане като Бетовен и Болт, а от тези които искат, не всеки е готов да положи необходимите усилия. А защо не са готови да полагат необходимите усилия? Защото някои не могат, а други не искат. Вторите считат промяната за предателство по отношение на себе си. На теория Ботев можеше да се промени, т.е. да остане в Румъния, но би го счел за предателство към себе си и България. Затова предпочете несигурното бъдеще на боец срещу стократно по-силен противник, което го доведе до смъртта му. Не искам и мога да се сравнявам с Ботев, но ... да престана да изказвам недообмислени мисли бих счел за предателство към собственото си Аз. Ще продължа да го правя, без значение че съм се изложил тук или там, пред този или онзи. Но това е инат, ще кажете. Не, не е. Да си позволи лукса да изказва само добре обмислени мисли може само този, в чиято глава собствени мисли се появяват рядко. Започнеш ли твърде много да обмисляш "новородените" си мисли, няма да имаш време и сили да "раждаш" нови. За най-красива теорема в математиката се приема теоремата на Евклид (за безкрайността на простите числа). В статия от 23 юли 2023 г. Ромео Мещрович твърди че към 2022 г. са известни 200 различни доказателства на теоремата.
През 2023 г. открих конструктивно доказателство на това че броят на различните доказателства на теоремата е безкраен. Това може и да е успех, но той е вече постиган от поне 2-ма автори преди мен. Оригиналното в моя случай е че успях не просто да докажа че броят на доказателствата е безкраен, а в това че успях да го докажа по 2 различни начина, а именно: 2.1. с употреба на редици от полигонални числа; 2.2. с употреба на редици от полихедрални числа. Ако сумираме, то можем да кажем че засега наличните начини за доказване на факта че съществуват безброй много начини за доказване на факта че съществуват безкрайно много прости числа са поне 4. Питам се дали възможните начини не са безкраен брой. Везенков вкара 11 точки срещу "Лейкърс" и разни баскетболни разбирачи започнаха да го омаловажават или възхваляват. Голяма работа, казват първите, това са 4 или 5 коша.
Веднага намерих грешката в това твърдение - разбирачите са забравили за единиците*. По-интересното го намерих малко след това, а именно - формулата за броя начини за вкарване на N точки в баскетбола (като имаме предвид че в различни случаи 1 кош се брои за 1, 2 или 3 точки). И така ... формулата е Round((N+3)*(N+3)/12) _____________________________________ * така че може да не са 4 или 5 коша, а число кошовe в интервала [4,11], или (на езика Wolfram) Plus@@@FrobeniusSolve[{1,2,3},11]//Union Числото 1441 може да бъде видяно по два начина:
а) като резултат на конкатенирането на квадрат (144) и куб (1), т.е. 144к1, б) като резултат на конкатенирането на куб (1) и квадрат (441), т.е. 1к441. 1441 и подобните му числа образуват целочислена редица, член на която е и числото 10*(х^6) + 1, където х>=1. Оттам че можем да заместим х със степените на 10, следва че редицата съдържа безкраен брой палиндромни членове. Нашият проблем е следният: Съществуват ли палиндромни членове на горната редица, които: в) са по-големи от 4665664, и г) не са от формата 10*(х^6) + 1, където х е степен на 10? Доскоро се чудех какво е било IQ-то на човека, нарекъл т.н. prime numbers прости числа. Отговарях си че е било близо до нулата.
Сега се чудя с кой акъл са нарекли т.н. torus тор. Отговарям си че IQ-то на виновника е било под нулата (да си прави компания с обонянието му). "Откритието включва две неща: това че едно нещо е и това какво точно е", казвал физикът, историк и философ на науката Thomas Kuhn. Когато става дума за география, нещата се движат в горепосочената последователност:
а) първо откриваш че нещото е (Колумб), б) после откриваш какво точно е (Веспучи). "Това е нов континент", заявил Веспучи и новият континент бил кръстен на негово име. Колумб не могъл да заслужи това право, той смятал че е открил нов път до Азия. В други случаи последователността е обратната. Първо откриваш какво точно е нещото и чак след това - самото нещо. Знам го, понеже и с мен се е случвало. Когато измъдрих елементарната концепция за простите палиндромни числа с прости палиндромни индекси* аз всъщност открих какви точно са нещата първо, а кои са самите неща - след това. Оказа се че (като че ли) те са само три: 3, 5 и 11. Е, с това откритие не влязох в книгите (като Веспучи), но успях да вляза във френското научно-популярно списание Pour la Science. Както казват рибарите, като няма риба и ракът е риба. __________________________________ * За да е от този вид, числото от първата редица (виж по-долу): 1. трябва да е едно и също когато го четем отзад напред и отпред назад, и 2. неговото число-близнак (в същата колона от втората редица) трябва да го има в първата редица. Просто число 2 3 5 7 11 13 17 19 ... Място (индекс) в редицата простите числа 1 2 3 4 5 6 7 8 ... Това е картинката, следва задачата (взета от Мартин Гарднър):
Възможно ли е, и как, с цифрите от 1 до 7 да се запълнят всички клетки (т.е. шестоъгълници) на фигурата, така че: а) във всяка клетка да има по една цифра, и б) сумата на цифрите във всички 3 реда и 6 диагонала да са равни? Гарднър е дал две решения, но аз намерих свое собствено: Къде би могла да се намира цифрата 7? 1. Очевидно не би могла да бъде в нито в една от 6-те външни клетки. Причината е че всяка от тях е част от 3-клетъчна линия (диагонал или ред) и още две 2-клетъчни линии (диагонал или ред), но няма как да намерим алгебрично решение на 7 + A + B = 7 + C = 7 + D, при което условието С <> D да е изпълнено. С пример, няма решение на 7 + 1 + 2 = 7 + 3 = 7 + D, за което D <> 3. 2. Ако цифрата 7 е в централната клетка, то тя е част от три 3-клетъчни линии (1 ред и 2 диагонала) и ние бихме могли да намерим едно единствено алгебрично решение: 1 + 7 + 6 = 2 + 7 + 5 = 3 + 7 + 4. За съжаление, споменатото решение не отговаря на условието сумите на цифрите във всички редове и диагонали на фигурата да са равни. Следователно, цифрата 7 не може да се намира в централната клетка. Изчерпихме всички възможни случаи, без да намерим място на цифрата 7. Следователно, задачата няма решение. Какъв бе вашият подход? Най-големият математически бестселър (след евклидовата "Геометрия") е шедьовърът на George Pólya "How to solve it", на нашенски - "Как се решава тази задача". Досега книгата е издадена в тираж над милион екземпляра и продължава да се издава. Преди няколко седмици, например, си купих бройка от изданието на Penguin от 2022 г.
В книгата си Поя дава безценни съвети, но ... начините му на решаване на примерните проблеми, са неоправдано сложни, поне за лаиците като мен. Днес ще се оплача от Проблем 18 от книгата на Поя, виж стр. 238 тук! Задачата е да се намери броя начини, по които може да се развали един долар с монети от 1, 5, 10, 25 и 50 цента. Решението на Поя заема цели 2 страници (252 и 253, на същия линк) и само като го погледнах, разбрах че не е "моето" решение. Реших ръчно да реша задачата (почти) без никакво мислене, само с въвеждане на подходящи означения и умно броене. Но понеже не съм силен в сметките на ръка, предположих че няма да стигна до вярното решение. Изведнъж ми хрумна да изкомандвам войската (т.е. добрия стар Wolfram) за силово нападение изотзад. Length[FrobeniusSolve[{1,5,10,25,50},100]] ми даде верния отговор за една стотна от секундата. Не съм се отказал да намеря несилово решение, по-кратко и просто* от това на Поя, но го оставям за по-нататък. ___________________________________________________________ * горното силово решение е супер-кратко, но не е просто; тук решаваме т.н. Уравнение на Фробениус, намирането на чиято дефиниция затруднява дори всемогъщия Гугъл Най-големият математически бестселър (след евклидовата "Геометрия") е шедьовърът на George Pólya "How to solve it", на нашенски - "Как се решава тази задача". Досега книгата е издадена в тираж над милион екземпляра и продължава да се издава. Преди няколко седмици, например, си купих бройка от изданието на Penguin от 2022 г. В книгата си, Поя показва че не само е голям математик, но и голям философ, писател, а и преподавател. Дава безценни съвети, но само едно нещо е пропуснал - да каже какво става след като решим задачата (докажем теоремата) и проверката на резултата покаже че сме прави. Ще го кажа вместо него: Вместо да се потупаме по рамото за акъла и упоритостта, след което да се захванем с нещо друго, добре е да не бързаме, а да помислим няма ли друго, т.е. по-добро, кратко и елегантно решение, достойно за Книгата*. Нека разгледаме Проблем 18 от книгата на Поя, виж стр. 237 тук! Задачата е да се разгледа следната пирамида, да се открие закономерността, да се изрази в символна форма, след което да се докаже верността ѝ. 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 Решението на Поя (виж стр. 250-251, пак там) е кратко и елегантно, но не е оптималното (изисква се познаване на аритметичните прогресии, например). Моето решение е максимално просто**: Произвеждаме пирамида, различна от пирамидата на Поя. Нашата пирамида изглежда така 1 1+3+5 1+3+5+7+9+11 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на n-тия ред на нашата пирамида минус (n-1)-я ред на нашата пирамида. Доказваме (ето как) че n-тият ред на нашата пирамида е равен на квадрата на n-тото триъгълно число, което е n(n+1)/2. Оттук, директно следва че n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на (n(n+1)/2)^2 - ((n-1)n/2)^2 = ... = n^3 __________________________________
* в която, по думите на Пал Ердьош, Бог записва най-красивите решения и доказателства ** на принципа "Накарай мързеливия (неукия) на работа, че да те научи на акъл" Стаменко Математикът се разхожда по прословутите жълти павета и вижда как някакъв "майстор" решава нерешим проблем. Само да не си помислите че става дума за Проблема с непрозрачната гора или Проблема с изоморфизма на графите! Не, не става дума за тях! Майсторът се е захванал да изстъргва боята на метална врата, но не ръчно, а машинно - с въртящ се диск. И понеже не може да осъзнае същината на проблема, той е избрал неподходящ диск, т.е. диск, чиято работна повърхност е ръбът му. Колко мъка има на този свят, мисли си Стаменко. Ако задачата беше да се изстърже 2-измерната повърхност на вратата с диск, чиято работна повърхност е 2-измерната му страна, то проблем няма. Ако целта беше да се разреже вратата с диск, чиято работна повърхност е 1-измерният му ръб, то проблем няма. Но когато се опитваш да стържеш евклидова 2-измерна повърхност с 1-измерния ръб на диска, не трябва да забравяш че контактната им точка е 0-измерна и стъргането ще ти отнеме безкрайно време. Колко глупост има на този свят, мисли си Стаменко. Не го подценявайте, той няма предвид света като цяло, а само тези места където, вместо за свършена работа, се плаща на час. Там където се плаща на час, майсторите обичат да решават нерешими проблеми. Послепис На какво прилича стърганата врата 3 месеца след стъргането може да се види по-горе. Математиката не е висша или нисша, а ранна или късна. Теоремата на Наполеон се струва нисша само на тези, които забравят:
1. че се е пръкнала чак през 19-ти век, вместо да се яви на някой грък векове преди Христа, и 2. че е трябвало да изчака автора да вземе изпитите си по "висша" математика, за да може да я измисли и докаже. |
This website uses marketing and tracking technologies. Opting out of this will opt you out of all cookies, except for those needed to run the website. Note that some products may not work as well without tracking cookies. Opt Out of CookiesCategories
All
Archives
March 2024
|