Category: Mathematics - Ivan's island

Infinitely many ways to prove the infinitude of primes, 2

3/19/2023

Let us start with the observation that for m > 5 the n-th m-gonal pyramidal number is of the form (1/6)*n*(n + 1)*((m – 2)*n – m + 5) (details here).

The positive m-gonal pyramidal number P and the m-gonal pyramidal number whose index is (6*P + 1) are coprime since the latter is of the form
(1/6)*(6*P + 1)*(6*P + 2)*((m – 2)*(6*P +1) – m + 5) = … =
= (3*P + 1)*(6*P + 1)*(2*P*(m – 2) + 1).

Therefore, for any m > 5 any sequence whose first term a(1) is a positive m-gonal pyramidal number and whose general term is of the form
a(n) = (3*k + 1)*(6*k + 1)*(2*k*(m – 2) + 1),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i), is a sequence of pairwise coprime m-gonal pyramidal numbers.

The above implies, by the Fundamental theorem of arithmetic, that there are infinitely many ways to prove the infinitude of primes.

Example:
By taking as a seed the first hexagonal pyramidal number 1 (see OEIS A002412), we can construct the following sequence of pairwise coprime hexagonal pyramidal numbers: 1, 252, 2310152797, 28410981127871160285705816883937448685, ...

Infinitely many easy ways to prove the infinitude of primes

2/26/2023

Elaborating on my previous text called "One easy way to prove the infinitude of primes", I found the following

Theorem
Let m = 2l, for any l > 0. There are infinitely many sequences of pairwise coprime m-gonal numbers, whose first term a(1) is any positive m-gonal number and whose general term a(n) is of the form a(n) = (k +1)((l – 1)k + 1)), where
k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Corollary
The fact that any such sequence is infinite implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of primes.

Example
Let us take for example the Tetradecagonal numbers (where m = 14 and l = 7) and take the second 14-gonal number 14 as the first term of the new sequence (NS). The general term of NS is of the form a(n) = (k +1)(6k + 1)),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i) and
NS = {14, 645, 244658821, 14642610579551886703145221, ...}.

One easy way to prove the infinitude of primes

2/23/2023

Improvising on the ideas of Wacław Sierpiński*, I found that infinitely many sequences of pairwise coprime octagonal numbers can be constructed, their first term a(1) being equal to any positive octagonal number and their general term being of the form a(n) = (k+1)(3k+1), where k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Any such sequence is infinite, which implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of primes.

Example
One such sequence is 8, 225, 9727201, 919691230011613567201,...

___________________________________________________________________
* see Problems 42 and 43 here, which involve triangular and tetrahedral numbers

Простата красота

2/16/2023

Красивата математическа теорема, казват, трябва да е
А. проста
Б. основана на минимален брой допускания, и
В. изненадваща.

За най-красива се смята Теоремата на Евклид за безкрайността на простите числа. Евклид я доказва, допускайки че простите числа са фиксиран брой, например n, т.е. P = {p_1, p_2, ..., p_n}. След което намира произведението им и добавя 1. Полученото число не се дели на никое от дадените прости числа и следователно или е просто число различно от тях, или не е, но в този случай се дели на просто число различно тях. Следователно допускането че простите числа са фиксиран брой е невярно.

Ако не сте математик/чка, но въпреки това имате остро зрение, то ще видите едно "невидимо" допускане и ще попитате: "А кой е казал че числото p_1*p_2*...*p_n + 1 трябва да се дели на просто число?" Това го казва Фундаменталната теорема на аритметиката, но тя съвсем не е проста.

Има едно друго красиво и просто доказателство за безкрайността на простите числа, дело на американеца Филип Сейдак. Сейдак формира редица от числа, изглеждаща така (k>1 е цяло положително число):
k, k * (k+1), k*(k+1) * k*(k+1)*[(k*(k+1)+1], ...
Всяка двойка членове на редицата са взаимно прости, което означава че всеки член на редицата има за делител просто число, което го няма сред делителите на другите членове. Следователно, така както членовете на посочената редица са безкраен брой, така е безкраен и броят на простите числа. Доказателството на Сейдак е прекрасно, но и при него има невидимо (за нематематиците) допускане - това че две последователни числа са взаимно прости.

Говорейки за красиви и прости неща, ще се поотдалеча от истинската математика и ще спомена моя афоризъм "Реалните хора са като реалните числа - понеже повечето са ирационални, те смятат себе си за нормални". Красив и прост е той, но е трудноразбираем. И тук има невидимо допускане - че читателят знае какво са реалните, ирационалните и особено нормалните числа.

Ще завърша, по мой обичай, с обобщение:
Простата красота си прилича с красивите хора - може и да изглежда проста, но не е толкова проста колкото изглежда. Гледайки красивото ѝ лице, не забелязваме скритите ѝ черти, и особено - трудния ѝ характер.

Стегни се, човече! Имаш проблем за решаване!

2/14/2023

Препрочитам си саркастичния текст "Рок-музика и дебилност" и изведнъж, сякаш отникъде, ми хрумва това:
Кой ли е минималният брой думи, образуващи смислено изречение с максимален брой повторения на думи?

Английският, сякаш, е най-подходящ за конструиране на такова изречение. Сещам се за Man up, man! На нашенски, Стегни се, човече! Не мога да се сетя за нещо подобно на български, освен за Стягай си гащите, гащник! Само дето то има една дума повече, а и повторението не е съвсем повторение.

Хрумна ми и идея за целочислена редица, с общ член дефиниран така: Минимално просто число с n повторения на някоя от цифрите. За жалост, оказа се че и този път съм "открил" топлата вода.

Задача за маниаци с маниашки компютри

2/8/2023

Гледам че преди 6 месеца съм измислил интересната целочислена редица OEIS A355371: Числа равни на сумата на първите R неквадрати и първите S квадрати (за някакви стойности на R и S).

За пример: 1+4+9+16+25+36 = 2+3+5+6+7+8+10+11+12+13+14 = 91

Първите 5 такива числа са: 5, 91, 506, 650, 11440. За шестото казват че ако го има, то е по-голямо от 10^20. Колко по-голямо?

Happy Ending Problem (with wine glasses)

1/30/2023

The Happy Ending Problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:

There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This is the latest and simplest proof (outline) of mine, based on the fact that five points in general position always form a pentagon. There are only two cases to consider.

Case 1. If the pentagon is convex we are done (as four of its vertices form a convex quadrilateral).

Case 2. If the pentagon is concave let us rotate it until one of its edges becomes parallel to the X axis, so that we use the pentagon as a wine glass and pour wine through the diagonal that is outside the pentagon, if this is possible. There exist only four types of glass, which we call Flat Bottom, Flat Top, Flat Middle and No Wine, and for every one of them we can easily construct a convex quadrilateral (see below).

Happy Ending Problem, 4+1=5

1/28/2023

The Happy Ending Problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:
There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This simple theorem has a simple proof but, as the unheard of concept of the so called convex hull is involved, the proof could be unintelligible to non-mathematicians, high school students inclusive. So, here is the latest proof (outline) of mine, in which you can meet the familiar points and lines only. Let us remember that four of those five points form a quadrilateral and let us call the other point extra point. There only two cases to consider.

Case 1. If the quadrilateral is convex we are done.

Case 2. If the quadrilateral is concave let us number its vertices in such a way that 2 is the vertex at the reflex angle of the quadrilateral and 1 is the only vertex, such that the line between 1 and 2 dissects the body of the quadrilateral (we call this line Green Line).

Picture 1

The Green Line divides the plane into two parts, which we call Left and Right. Let us analize only the Left one (having in mind that the same thinking can be applied to the Right one).

Let us draw the line between points 2 and 3 (3 is the vertex in the Right half of the plane) and call it Red Line. Thus, the Left half of the plane is divided into 7 parts. No matter in which of those 7 parts the extra point may be, we can construct a convex quadrilateral following the suggestions on Picture 1, where x is the name of the extra point.

Доказателство чрез допускане на противното

1/23/2023

Понеже съм като яйце от породата "къде го чукаш, къде се пука", та ... След като се провалих (засега) в доказването на сложна теорема, му хрумна нещо просто - как да демонстрирам що е то доказателство чрез допускане на противното. И така ...

Висококомпозитните числа са естествени числа, поставящи рекорд с броя на делителите си (и те естествени числа). Кои са първите числа с един, два, три, четири, пет, ... делителя? Елементарно, Уотсън, това са числата 1, 2, 4, 6, 12, ... Забелязвате ли нещо особено? След 1 следват само четни числа? Случайност или закономерност?

Броят делители tau(n) на числото n зависи от експонентите (степенните показатели) е в каноничната му форма, която е
n = Product_{i = 1..r} (p_i^e_i), където всяко p е просто число.
Зависимостта приема формата
tau(n) = Product_{i = 1..r} (e_i + 1).

Да допуснем че, освен 1, съществува друго нечетно висококомпозитно число. Това означава че каноничната му форма е
p_1^e_1 * p_2^e_2 * ... * p_r-1^e_r-1 * p_r^e_r ,
където за всяко 1 <= i <= r, p_i > 2.

Не е трудно да конструираме четно число с форма
2^e_r * p_1^e_1 * ... * p_r-1^e_r-1 ,
което, съгласно формулата за tau(n), има същия брой делители. И тъй като не е възможно да съществуват две различни (но минимални) числа-рекордьори, следва че допускането ни е грешно. Откъдето следва че, освен 1, няма други нечетни висококомпозитни числа.

За улеснение на читателя, ще направим практическа демонстрация с n = 105. Тъй като n = 3^1 * 5^1 * 7^1, то tau(105) = 2*2*2 = 8. Нечетното число 105, с делители 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105, не би могло да е първото число с 8 делителя, защото можем да конструираме по-малко число-рекордьор, което да е четно. Това е числото 30 = 2^1 * 3^1 * 5^1, с неговите делители 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

HEP for Beginners, 2

1/14/2023

The Happy Ending Problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:
There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This simple theorem has a simple proof but, as the complex concept called "convex hull" is involved, the proof could be unintelligible to non-mathematicians, high school students inclusive. So, here is the latest proof of mine, in which you can meet the familiar points and lines only.

Let us start with the observation that any three of those five points form a triangle and let us call the other two points extra points. Where can the extra points be? There are five cases to consider.

Case 1. There exists at least one extra point in an OK part of the plane (see Fig. 1 below). The convex quadrilateral is easy to construct.

Fig. 1

Case 2. There exist two extra points in two ? parts of the plane. (see Fig. 2 below). The convex quadrilateral is easy to construct.

Fig. 2

Case 3. There exist two extra points in one ? part of the plane (see Fig. 3 below). The line connecting those points may intersect zero or two sides of the triangle. Connect those extra points to an unintersected side of the triangle and there it is, our convex quadrilateral.

Fig. 3

Case 4. There exists two extra points inside the triangle. There is no need to draw here, the reasoning is the same as in Case 3. The only difference in Case 4 is that the line between the extra points always intersects two sides of the triangle.

Case 5. There exist one extra point inside the triangle and one in ? part of the plane (see Fig. 4 below). The line connecting those points will always intersect two sides of the trianble. Start your "walk" from the extra point outside the triangle to the one inside it. Take the points of the side you cross first, connect them to the extra points and there you have it, our convex quadrilateral.

Fig. 4

We have just exhausted all possible arrangements of a triangle and two points in a plane and proved that a convex quadrilateral can be built in each and every one of them. Q.E.D.

Двете математики

1/13/2023

Математиките са сякаш две: голяма и малка. Малката математика задава прости въпроси, голямата дава сложни отговори. Е, понякога диалогът им не се получава. Днес научавам за един такъв случай (виж Фиг. 2 тук):
Малката математика попитала "Коя е формулата, показваща по колко различни начина може да се прегъне (по перфорацията) лента от 1 x N бели (празни) марки?" Вместо да каже че формулата не ѝ е известна, или че няма такава, голямата математика "дипломатично" замълчала.

нЕкои съображения: Станфордската класация

1/11/2023

В "Дневник" публикуваха статия за Станфордската класация. В статията и коментарите към нея се изразяват съмнения че цитатите и автоцитатите правят от един учен голям учен. Разбира се че не го правят, голям го прави това колко похапва.

Да не би да става дума за добър учен? Не, добър го прави това как се държи с колегите, а и с всички останали. Цитатите (да те цитират) и автоцитатите (да се цитираш сам) правят учения известен. Това, според някои коментатори не било правилно, особено когато става дума за автоцитатите. Ще си позволя да застана на обратната позиция.

Обикновените учени и лаиците не ги цитират много (или изобщо), поради което те не отдават значение на цитирането. А как седи въпросът с автоцитирането? По подобен начин: ако издаваш малко, то имаш малко възможности да се автоцитираш. За основоположниците е напълно нормално да ги цитират и да се автоцитират. Говоря за физици от сорта на Айнщайн и компютърни учени от сорта на Тим Бърнърс-Лий.

Понякога, за да се автоцитираш не е нужно да си положил основите на нова област, а просто да си неин обикновен посетител. Ще дам практически пример. В началото на 21-ви век Райнхард Цумкелер генерализира концепцията за перфектните числа, в резултат на което на него са кръстени т.н. Цумкелерови числа. На тях, в последно време, са изцяло/частично посветени малък брой статии. Ако някой от малкото автори реши да напише следваща статия за Цумкелеровите числа, той просто е длъжен да се автоцитира, понеже откритията и откривателите в тази сфера са твърде малко и той няма какво друго да цитира (т.е върху какво друго да разсъждава)*. Елементарно, Уотсън, в тези случаи да се автоцитираш прилича на това да добавиш нов ред тухли към нова стена - като не можеш да лепиш новите си тухли върху чужди тухли, се налага да ги лепиш върху твоите стари тухли.

_________________________________________________________________
* това се вижда добре от статията на Farid Jokar, в която той автоцитира двете си предишни статии

Picasso's great mistake

11/20/2022

"Everything you can imagine is real," Picasso used to say. He had never heard of the imaginary numbers, poor fellow.

"Всичко въображаемо е реално", казвал Пикасо. Не бил чувал за имагинерните числа, горкият.

Прекалената простота и Айнщайну не е мила

11/3/2022

"Всичко трябва да бъде правено толкова просто, колкото е възможно, но не и по-просто", казвал Айнщайн. Какво ли е имал предвид?

По времето на социализма, някакъв нашенски архитект спечелил конкурс за проектиране на болница поради простата причина че единствен се сетил да сложи тоалетни. С други думи, проектите на колегите му са били прекалено прости.

И като си говорим за архитекти, да разгледаме Проблема с трите комунални услуги? Забелязвате ли нещо странно в него? Прекалено опростен е; комуналните услуги са представени като чисти производители, а семействата - като чисти потребители. В действителност не е така:
а) комуналните услуги не могат да работят без да ползват услугите си една на друга (и електрификацията, подобно на здравеопазването, не може без тоалетни);
б) семействата биха могли да не ползват различни комунални услуги, заради бунара в двора или соларния панел на покрива.

Питагоровата теорема: от А до Я

9/8/2022

Вчера случайно научих че има Айнщайново доказателство на Питагоровата теорема. Всъщност, това доказателство го имало и в прословутата книга с 344 доказателства, написана от Илайша Луумис, който твърдял (без да знае че 12-годишният Айнщайн е доказал теоремата по този начин) че доказателството е дело на Стенли Яшемски.

Твърде вероятно е А и Я да са достигнали самостоятелно до доказателството, въпреки че Я не е бил роден когато А е бил на 12 години. От друга страна, няма доказателства че А е "родил" доказателството когато е бил на 12.

Тук идва ред на хвалбите. Не съм чел книгата на Луумис, но съм проучил страницата в уебсайта Cut-the-knot, посветена на Питагоровата теорема, където има 122 различни доказателства. Mоите доказателства, вкл. единственото останало в блога ми, ги няма там. Оригиналното мислене си е оригинално мислене; по това (за разлика от въпроса чие е Айнщайновото доказателство) няма две мнения.

Normalcy

8/21/2022

Real people are like real numbers: almost all of them are supposedly normal, but if you want to point which ones are, you'll face great difficulties.

Реалните хора са като реалните числа: уж почти всички са нормални, но aко се наложи да посочиш кои, ще срещнеш големи трудности.

Politics

8/11/2022

Let A be the set of your friends and B be the union of C (the set of your friends' friends) and D (the set of your enemies' enemies). Politics is an effective nonmathematical instrument that can easily disprove your naive faith that B is a subset of A.

Избързвания и закъснения

7/17/2022

Преди месец, мислейки за светата троица {свобода, братство, равенство}, избързах и открих (преди всеки друг) нова целочислена редица (OEIS A353187). Интересното в нея е че тя (като че ли) съдържа простите числа от вида 3n-1.

Днес размишлявам за троицата {формална интелигентност, оригинално мислене, формално образование}, за която вече съм писал. И понеже съм установил че между всеки два от трите й елемента няма нищо общо, се запитах коя е лексикографски първата редица от цели положителни числа, такава че от всяка тройка последователни членове всяка двойка са взаимно прости.

Редицата изглежда така: 1,2,3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,25,26,27,29, ...
За съжаление съм закъснял с откриването ѝ с около 23 години. Кое е интересното в тази редица (OEIS A047255)? Това че съдържа всички прости числа.

Market cap: Neither fish nor fowl

7/15/2022

Apple's market capitalization has exceeded 2 trillion dollars. Let me remind you that
Market capitalization = number of shares outstanding * share's current market price

Let me remind you one more thing you've probably forgotten. The number of shares outstanding is an objective quantity, and the current market price is an intersubjective quantity (i.e. a non-objective quantity, which is not entirely subjective because it is shared by different subjects).

Mathematics teaches us that Pi and e are irrational and transcendental numbers, but no one knows whether Pi*e is irrational or transcendental. Similarly, no one knows whether the product of objective and intersubjective quantities is objective quantity. In short, people may believe that market capitalization is something real, but they do so at their own peril.

Свобода, братство, равенство

6/20/2022

Множеството {свобода,братство,равенство} има три двуелементни подмножества: {свобода,братство}, {свобода,равенство} и {братство, равенство}. Можем да кажем че само елементите на подмножеството {свобода, братство} не са взаимноизключващи се. Нека поразсъждаваме за останалите:
1. Братството изключва равенството, тък като произволна двойка братя се дели на старши и младши (като възраст, като любимци на родителите и т.н.).
2. Свободата изключва равенството - по думите на Давила свободата е правото да бъдеш различен, а равенството е забрана да бъдеш различен.

Ако използваме неособено внимателно математическата терминология, можем да кажем че само елементите на подмножеството {свобода,братство} не са взаимно прости. Запитах се на какво ли ще прилича лексикографски първата стриктно нарастваща редица от цели положителни числа, в която от всяка тройка последователни числа само една двойка не са взаимно прости.

Така редицата OEIS A353187, започваща с:
1,2,4,5,6,8,11,12,14,17,18,20,23,24,26,29,30,32,37,38,40,41,42,44,47,48,50,53,54,56,59,60,62,67,68,70,71,72,74,77,78,80,83,84,86,89,90,92,97,98,100, ... ,
сякаш избра да се пръкне на този свят първо в моята глава.

Вътрешното ми око (за числа) видя нещо интересно, но засега недоказано:
Горната редица съдържа всички прости числа от вида 3n-1 (OEIS A003627).

Irrationality

6/18/2022

The magical world of numbers is much better than the real world of ours. In the former, the sum of two irrationals is sometimes rational. For example:
0.01001000100001... +
0.10110111011110... =
0.11111111111111... =
1/9

Unfortunately, that does not work with irrational people.

Революционен пробив в готварството

6/1/2022

И кой го направи? Как кой, аз - човекът за когото пържените яйца и спагетите са готварски подвиг! Днес открих проста аритметична функция f(m,n) за минималния брой радиални разрези необходими за да се разделят поравно m еднакви пици на n клиента (без пиците да се трупат на кули). Функцията приема стойности:
a) 0 (когато n дели m без остатък),
b) (x+1)*m + r - 1 (за m<n, където n = x*m + r и r<m),
c) f(r,n) (за m>n, където m = y*n + r и r<n).

Послепис
Случайно открих книгата Mathematical Muffin Morsels, където оптимизацията се прави не от името на резача (минимизиране броя разрези), а от името на клиента (максимизиране на минималното парче, с цел да не мъчим клиента с мънички парченца). Авторите признават че книгата им е отнела 2 години, като са участвали няколко университетски преподаватели, техни студенти и учители по математика.

Можете ли да си представите, 2

6/1/2022

Светът е хем закономерен, хем случаен. Нещата не ни се явяват подредени (по-простото преди по-сложното), а в случаен ред. Не е ли и случайността в появата им проява на закономерност? Кой би могъл да си представи че Предположението на Голдбах няма да се роди в главата на някой от древногръците математици, всичките обсебени от простите числа, а ще трябва да чака чак до 1742 г.? Или че "простичката" Теорема на Наполеон не би могла да се появи първо в главата на Талес или на Евклид?

Не, тук не става въпрос само за простото и сложното, но и за грозното и красивото, както и за краткото и дългото. Да вземем за пример рок-музиката. Кой би могъл да си представи че 2 години след красивата и дълга Shine On You Crazy Diamond на Pink Floyd ще се роди грозната и кратка Anarchy in the U.K. на Sex Pistols ?

Истината на генерал Патън

5/20/2022

Не казвайте на хората как да правят нещата, кажете им какво да правят и ги оставете да ви изненадат с резултатите си. С това изказване бил запомнен генерал Патън. Има някаква истина тук, но тя е твърде далеч от пълната истина.

Питагоровата теорема е не само една от най-древните и най-известните, но и е най-доказваната. Има и теорема, доказваща че само доказателствата на Питагоровата теорема чрез сечение са безкрайно много. Но дори тази ценна информация не мотивира търсачите на нови доказателства; факт е че за около 2500 години Питагоровата теорема е доказана само по около 370 различни начина. Вместо нея, математиците предпочитат да доказват своите теореми, и затова всяка година се "раждат" над 200000 нови. Така че аз бих го казал така:
Не казвайте на Хората нито как да правят нещата, нито какво да правят! Така те ще ви изненадат многократно повече!

Ако ви учудва това главно Х в Хората, то не е там случайно (понеже имам предвид малцинството с творчески наклонности). Доста обикновени хора не могат без това да им се казва какво да правят, а още повече - и без това да им се казва как да го направят. Затова първите имат нужда от мениджъри (офицери и генерали), а вторите - и от надзиратели (сержанти). Такива ми ти работи, бай Патън!

Математически неволи

5/18/2022

Вчера моят онлайн-приятел Митко, гледайки километража на колата си, откри теорема:
За всяко n>3, минималното разстояние между два съседни n-цифрени десетични палиндрома e 11.

Казах си: не мога ли и аз да открия някоя теорема? И, с малко нюх и експеримент, взех че открих:
Сумата на първите 4n+1 числа на Пел (виж OEIS A000129 и A048739) е равна на квадрата на n-тото NSW-число (виж OEIS A002315).
По-късно, разбрах че откритието ми е закъсняло с 16 години*. Какъв лош късмет!

__________________________________________
* след Фалкон Сантана и Диаз-Бареро