|
"Everything you can imagine is real," Picasso used to say. He had never heard of the imaginary numbers, poor fellow.
"Всичко въображаемо е реално", казвал Пикасо. Не бил чувал за имагинерните числа, горкият.
0 Comments
"Всичко трябва да бъде правено толкова просто, колкото е възможно, но не и по-просто", казвал Айнщайн. Какво ли е имал предвид?
По времето на социализма, някакъв нашенски архитект спечелил конкурс за проектиране на болница поради простата причина че единствен се сетил да сложи тоалетни. С други думи, проектите на колегите му са били прекалено прости. И като си говорим за архитекти, да разгледаме Проблема с трите комунални услуги? Забелязвате ли нещо странно в него? Прекалено опростен е; комуналните услуги са представени като чисти производители, а семействата - като чисти потребители. В действителност не е така: а) комуналните услуги не могат да работят без да ползват услугите си една на друга (и електрификацията, подобно на здравеопазването, не може без тоалетни); б) семействата биха могли да не ползват различни комунални услуги, заради бунара в двора или соларния панел/батериите - на покрива/в мазето. Вчера случайно научих че има Айнщайново доказателство на Питагоровата теорема. Всъщност, това доказателство го имало и в прословутата книга с 344 доказателства, написана от Илайша Луумис, който твърдял (без да знае че 12-годишният Айнщайн е доказал теоремата по този начин) че доказателството е дело на Стенли Яшемски.
Твърде вероятно е А и Я да са достигнали самостоятелно до доказателството, въпреки че Я не е бил роден когато А е бил на 12 години. От друга страна, няма доказателства че А е "родил" доказателството когато е бил на 12. Тук идва ред на хвалбите. Не съм чел книгата на Луумис, но съм проучил страницата в уебсайта Cut-the-knot, посветена на Питагоровата теорема, където има 122 различни доказателства. Mоите доказателства, вкл. единственото останало в блога ми, ги няма там. Оригиналното мислене си е оригинално мислене; по това (за разлика от въпроса чие е Айнщайновото доказателство) няма две мнения. Let A be the set of your friends and B be the union of C (the set of your friends' friends) and D (the set of your enemies' enemies). Politics is an effective nonmathematical instrument that can easily disprove your naive faith that B is a subset of A.
Преди месец, мислейки за светата троица {свобода, братство, равенство}, избързах и открих (преди всеки друг) нова целочислена редица (OEIS A353187). Интересното в нея е че тя (като че ли) съдържа простите числа от вида 3n-1.
Днес размишлявам за троицата {формална интелигентност, оригинално мислене, формално образование}, за която вече съм писал. И понеже съм установил че между всеки два от трите й елемента няма нищо общо, се запитах коя е лексикографски първата редица от цели положителни числа, такава че от всяка тройка последователни членове всяка двойка са взаимно прости. Редицата изглежда така: 1,2,3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,25,26,27,29, ... За съжаление съм закъснял с откриването ѝ с около 23 години. Кое е интересното в тази редица (OEIS A047255)? Това че съдържа всички прости числа. Apple's market capitalization has exceeded 2 trillion dollars. Let me remind you that
Market capitalization = number of shares outstanding (i.e. all shares minus those held by the company itself) * share's current market price Let me remind you one more thing you've probably forgotten. The number of shares outstanding is an objective quantity, and the current market price is an intersubjective quantity (i.e. a non-objective quantity, which is not entirely subjective because it is shared by different subjects). Mathematics teaches us that Pi and e are irrational and transcendental numbers, but no one knows whether Pi*e is irrational or transcendental. Similarly, no one knows whether the product of objective and intersubjective quantities is objective quantity. In short, people may believe that market capitalization is something real, but they do so at their own peril. Множеството {свобода,братство,равенство} има три двуелементни подмножества: {свобода,братство}, {свобода,равенство} и {братство, равенство}. Можем да кажем че само елементите на подмножеството {свобода, братство} не са взаимноизключващи се. Нека поразсъждаваме за останалите:
1. Братството изключва равенството, тък като произволна двойка братя се дели на старши и младши (като възраст, като любимци на родителите и т.н.). 2. Свободата изключва равенството - по думите на Давила свободата е правото да бъдеш различен, а равенството е забрана да бъдеш различен. Ако използваме неособено внимателно математическата терминология, можем да кажем че само елементите на подмножеството {свобода,братство} не са взаимно прости. Запитах се на какво ли ще прилича лексикографски първата стриктно нарастваща редица от цели положителни числа, в която от всяка тройка последователни числа само една двойка не са взаимно прости. Така редицата OEIS A353187, започваща с: 1,2,4,5,6,8,11,12,14,17,18,20,23,24,26,29,30,32,37,38,40,41,42,44,47,48,50,53,54,56,59,60,62,67,68,70,71,72,74,77,78,80,83,84,86,89,90,92,97,98,100, ... , сякаш избра да се пръкне на този свят първо в моята глава. Вътрешното ми око (за числа) видя нещо интересно, но засега недоказано: Горната редица съдържа всички прости числа от вида 3n-1 (OEIS A003627). The magical world of numbers is much better than the real world of ours. In the former, the sum of two irrationals is sometimes rational. For example:
0.01001000100001... + 0.10110111011110... = 0.11111111111111... = 1/9 Unfortunately, that does not work with irrational people. И кой го направи? Как кой, аз - човекът за когото пържените яйца и спагетите са готварски подвиг! Днес открих проста аритметична функция f(m,n) за минималния брой радиални разрези необходими за да се разделят поравно m еднакви пици на n клиента (без пиците да се трупат на кули). Функцията приема стойности:
a) 0 (когато n дели m без остатък), b) (x+1)*m + r - 1 (за m<n, където n = x*m + r и r<m), c) f(r,n) (за m>n, където m = y*n + r и r<n). Послепис Случайно открих книгата Mathematical Muffin Morsels, където оптимизацията се прави не от името на резача (минимизиране броя разрези), а от името на клиента (максимизиране на минималното парче, с цел да не мъчим клиента с мънички парченца). Авторите признават че книгата им е отнела 2 години, като са участвали няколко университетски преподаватели, техни студенти и учители по математика. Светът е хем закономерен, хем случаен. Нещата не ни се явяват подредени (по-простото преди по-сложното), а в случаен ред. Не е ли и случайността в появата им проява на закономерност? Кой би могъл да си представи че Предположението на Голдбах няма да се роди в главата на някой от древногръците математици, всичките обсебени от простите числа, а ще трябва да чака чак до 1742 г.? Или че "простичката" Теорема на Наполеон не би могла да се появи първо в главата на Талес или на Евклид?
Не, тук не става въпрос само за простото и сложното, но и за грозното и красивото, както и за краткото и дългото. Да вземем за пример рок-музиката. Кой би могъл да си представи че 2 години след красивата и дълга Shine On You Crazy Diamond на Pink Floyd ще се роди грозната и кратка Anarchy in the U.K. на Sex Pistols ? Не казвайте на хората как да правят нещата, кажете им какво да правят и ги оставете да ви изненадат с резултатите си. С това изказване бил запомнен генерал Патън. Има някаква истина тук, но тя е твърде далеч от пълната истина.
Питагоровата теорема е не само една от най-древните и най-известните, но и е най-доказваната. Има и теорема, доказваща че само доказателствата на Питагоровата теорема чрез сечение са безкрайно много. Но дори тази ценна информация не мотивира търсачите на нови доказателства; факт е че за около 2500 години Питагоровата теорема е доказана само по около 370 различни начина. Вместо нея, математиците предпочитат да доказват своите теореми, и затова всяка година се "раждат" над 200000 нови. Така че аз бих го казал така: Не казвайте на Хората нито как да правят нещата, нито какво да правят! Така те ще ви изненадат многократно повече! Ако ви учудва това главно Х в Хората, то не е там случайно (понеже имам предвид малцинството с творчески наклонности). Доста обикновени хора не могат без това да им се казва какво да правят, а още повече - и без това да им се казва как да го направят. Затова първите имат нужда от мениджъри (офицери и генерали), а вторите - и от надзиратели (сержанти). Такива ми ти работи, бай Патън! Вчера моят онлайн-приятел Митко, гледайки километража на колата си, откри теорема:
За всяко n>3, минималното разстояние между два съседни n-цифрени десетични палиндрома e 11. Казах си: не мога ли и аз да открия някоя теорема? И, с малко нюх и експеримент, взех че открих: Сумата на първите 4n+1 числа на Пел (виж OEIS A000129 и A048739) е равна на квадрата на n-тото NSW-число (виж OEIS A002315). По-късно, разбрах че откритието ми е закъсняло с 16 години*. Какъв лош късмет! __________________________________________ * след Фалкон Сантана и Диаз-Бареро Всяка добра теорема би трябвало да има няколко доказателства; колкото повече, толкова по-добре. Причините са две, обикновено различните доказателства имат различни силни и слаби страни, а и се генерализират в различни посоки. По тези причини, различните доказателства не са просто повторения едно на друго. Майкъл Атия
... ако възникнат противоречия, няма да има повече нужда от спор между двама философи ... Защото за тях би било достатъчно да вземат моливите в ръцете си, да седнат при сметалата и да си кажат: "Нека пресметнем!" Лайбниц
Сигурен съм че сте чували как никога българско бойно знаме не е пленявано от врага. А чували ли сте историята за командира на 19-ти шуменски пехотен полк подполковник Марин Куцаров? Когато врагът пленява полка, командирът решава да спаси от плен знамето и го скрива в хастара на куртката си. Представете си следната математическа ситуация, в която а е елемент на множеството А, а А е подмножество на B. Мислите ли че е възможно а да не е елемент на B? Естествено че не е възможно. Да, ама Куцаров бил на друго мнение - той смятал че е възможно да е пленник, да крие знамето в себе си и, въпреки това, знамето да не е в плен. Математиката май е стигнала до задънена улица, поне по отношение на терминологията. DERANGEMENT, което на обикновен английски означава ПСИХИЧЕСКО РАЗСТРОЙСТВО, за математиците означава пермутация на елементите на множество, при която никой от тях не запазва оригиналната си позиция. Толкова ли не можаха да намерят по-подходящ термин?
Това беше лошата новина. По-лошата новина е следната: Това че на математиците им свършват термините означава че обектите изучавани от математиката са станали прекалено много. Дали това не е индикация че и те са на привършване? Евклидовата книга се видяла трудна и дълга на фараона Птолемей, та затова той запитал главния си учен няма ли по-кратък път към научаването на геометрията. "Няма царски път към геометрията", отвърнал гордо Евклид.
Царски пътища не само че има, но понякога те са по-кратки. Питагор не е първият професионален математик открил Питагоровата теорема, тя е била позната на вавилонските математици хилядолетие преди Питагор. Подобна е историята с професионалния математик Паскал и неговия триъгълник, известен на китайците столетия по-рано. Накратко: Питагор и Паскал не са стигнали директно до нещата кръстени на тях, защото (макар и без да го знаят) са вървели по пътища прекарани от други. Това съвсем не е така с теоремата, известна като Теорема на Наполеон. От една страна, няма данни теоремата да е била открита преди аматьора Наполеон, т.е. императорът сам (директно) е стигнал до нея. Ерго, с помощта на контрапример, опровергахме твърдението на Евклид че в геометрията (и математиката като цяло) няма царски пътища. Като се замислим, в математиката има не само царски, но и благороднически пътища. Маркиз л'Опитал станал известен с това че си купувал винетки за тях от Йохан Бернули, ха-ха-ха. Стаменко Математикът обикновено сънува интелектуални сънища: я е на конференция на историци в Кайро, я е на среща на литератори в София; я си говори с хан Аспарух, я с Иван Вазов. Дали е заради изпития по празниците алкохол, не се знае, но през нощта на първи срещу втори януари той сънува нещо съвсем различно, а именно - как побеждава в битка с ножове някакъв гаден нацист, а на финала на битката прозвучава песента "Добри познати", изпълнена от Михаил Белчев и Искра Радева.
По някое време Стаменко се събужда и от нямане какво да прави се заглежда в новините. По случай 100-годишнината от рождението на Блага Димитрова излязла препечатка на нейна стихосбирка, в която е включено стихотворението, изпято от Белчев и Радева. В него поетесата отбелязва, наред с всичко останало, че "няма среда в любовта". Стаменко дочита статията, подходящо озаглавена "Няма среда в любовта", и си казва че съвпадението "сън-статия" е чисто случайно. С това за средата не е съгласен - в любовта има закономерности, една от които е че щом има начало и край, то няма как да няма среда. Това важи както за интервала от време, така и за амплитудата. Елементарно, Уотсън, съгласно Теоремата за междинната стойност, при започналите щастливо и завършили нещастно любови, няма как между плюса на любовта и минуса на омразата да не съществува нулата на безразличието. You have many double-six sets of dominoes. Find formulas for the minimum/maximum number of pips (dots) in any square of 2*n^2 tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.
PS 8 December 2021 Fausto Morales kindly provided the following formulas: With k(0) = 34 , k(1) = 34, k(2) = 25 , k(3) = 19, k(4) = 32, k(5) = 29, k(6) = 11 and k(7) = 29, Minimal case: P(n) = 12*n^2 - k{abs[(n mod 12) - 7]} Maximal case: M(n) = 12*n^2 + k{abs[(n mod 12) - 7]} You have many double-six sets of dominoes. Find a formula for the minimum number of pips (dots) in any square of 2^(2n - 1) tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.
PS 17 November 2021 I was able to find recurrences for the minimum number of pips p(n) = 3*p(n-1) + 3*p(n-2) + 4*p(n-3) + 246, with p(1) = 1, p(2) = 19, p(3) = 173 and p(4) = 734, and for the maximum number of pips m(n) = 3*m(n-1) + 3*m(n-2) + 4*m(n-3) - 246, with m(1) = 23, m(2) = 77, m(3) = 211 and m(4) = 802. Fausto Morales showed much better thinking (as always) and found closed formulas for the minimum number of pips p(n) = 3*(2^2n) - 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) + 1, with p(1) = 1, and for the maximum number of pips m(n) = 3*(2^2n) + 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) - 1, with m(1) = 23. Понеже съм "титан" на мисълта, способен съм да оборя Аристотел. Не просто Аристотел, а неговия логически Закон за непротиворечието, според който не може в един и същи момент да е вярно едно нещо и отрицанието му. Ще го направя не с позоваване на математически инструменти, a с позоваване на историята на математиката.
Математикът Херман Вайл нямал късмет - захласнат в математическата си кула от слонова кост и пътувайки по конференции, той пропуснал да забележи че със задграничните си пътувания е нарушил американските закони за натурализация и е изгубил трудно придобитото си (и единствено) американско гражданство. Същевременно Вайл имал късмет, понеже умрял от инфаркт в Швейцария вместо да се притеснява от загубеното си гражданство и "пиленето" на жена му за това с кой акъл го е допуснал. Ще кажете че не аз съм оборил Аристотел, а Вайл. Има нещо такова, но то отново е свързано с противоречие: Вайл е имал късмет (да умре в Швейцария, виж по-горе), но е нямал късмет (да разбере че със смъртта си е оборил Аристотел). Този късмет го имах аз, което ме навежда на мисълта за третото противоречие: това че имам късмет (да съм късметлията осъзнал оборването на Аристотел) означава че нямам късмет (да съм титанът на мисълта оборил Аристотел). Съществува ли БЪЛГАРСКИ алфамагически квадрат?
What a piece of work is a man! He can't define what hardcore pornography is, but he can recognize it when he sees it (in the words of the world-famous American judge Potter Stewart).
With prime numbers, the situation is quite different - we can easily define them, but we cannot recognize them when we see them. Pierre de Fermat thought that 2^32 + 1 = 4294967297 is a prime number, but much later Leonhard Euler discovered it was not. В Технологичния институт на Джорджия установили, че има връзка между големината на зеницата и коефициента на интелигентност (IQ). Може и да има такава връзка, а може и да няма. Дори и да има, връзката е статистическа, а не функционална. Елементарно, Уотсън, при различните хора размерът на зеницата се изменя в малки граници, а на интелигентността - в големи*. Което, съгласно принципа на Дирихле, ни води до извода че има хора с еднакви размери на зеницата и различни интелигентности. Което означава че** интелигентността не е функция единствено на променливата "размер на зеницата".
Това отдавна ми е ясно, ще каже интелигентният читател. Иначе защо интелигентността ще се мери с бавни и сложни тестове за интелигентност, а не с бързи измервания на размера на зеницата (или на банковата сметка)? Това, което зениците на интелигентните читатели пропускат да видят е че ... не зеницата е важна, а това което виждаш с нея; не интелигентността е важна, а това което правиш с нея. Лирическо отклонение Във времената отпреди смартфоните, в една европейска столица живееше мой колега от компаниите Гаранциа Франциа и Интернационаале Унтерладен Хрууп. Той беше собственик на най-голямата зеница, която съм виждал. В родния си град, за да отиде от офиса си до популярен японски ресторант той сменяше 2 линии на метрото (плащайки 2 билета, че линиите бяха несвързани една с друга), след което ходеше пеша и успяваше да се изгуби (та му се налагаше да се допитва до минувачите). Знам го, защото съм бил в група чужденци, която му беше поверена за да ги заведе до ресторанта. Аз самият, още преди тази случка, знаех как да стигна до ресторанта с кратка разходка през най-хубавата част на града и без да се загубя. И за да не забравя: толкова обикновен беше колегата в сравнение с повечето колеги/колежки, че за разлика от техните, неговото име ми се губи (въпреки че ми е бил колега на цели 2 места). Толкова по въпроса за големите зеници. ______________________________________ * ако не ме мами математиката, разликата в интелигентността на двама души с IQ=200 и с IQ=20 е 10 пъти ** спомняте ли си за Теста с вертикалната линия? ... сигурно разговаряш с химик. Има нещо нереалистично в идеята за атомизираното общество - това че атомите му биха могли да се свържат в стабилни и красиви комбинации (ако не по други причини, то по случайност).
Не съм химик, и мисля че обществото ни е математизирано: > всяка двойка хора са взаимно-прости - защото всеки мисли другия за прост човек; > хората са точки в генерална позиция - защото мненията на нито една двойка не съвпадат и защото не съществува (партийна) линия способна да свърже (т.е. удовлетвори интересите на) която и да било тройка. |
Categories
All
Archives
November 2022
|
RSS Feed
