Category: Mathematics - Ivan's island

Денят на жълтото прасе

7/18/2025

Вчера бил денят на жълтото прасе, т.е. денят на числото 17, празнуван от американските математици. Веднага се заемам да съобщя защо 17 е важно за математиката, поне по моя преценка:

През 2006 г. Секереш и Питърс (компютърно) доказват че (както се е очаквало) в Евклидовата равнина 17 е минималният брой точки в генерална позиция, гарантиращ построяването на изпъкнал 6-тоъгълник между някои от тях.

С камъните на Сократ, по главата на Аристотел

6/26/2025

Мисля си за Сократ и неговата мисъл:
Аз знам че нищо не знам, но някои дори и това не знаят
и се питам:
Нормално ли е множеството на тези, които не знаят че нищо не знаят?

1. Ако е нормално, то не е елемент на себе си и следователно знае че нищо не знае.
2. Ако е ненормално, то е елемент на себе си и следователно не знае че нищо не знае.
3. Дотук добре, но ... едно множество хора не може нито да знае, нито да не знае, това го могат отделните му елементи.

Разбра ли, драги читателю, какво направихме току-що? Открихме множество, което нито е нормално, нито не е. Следствието на това откритие би могло да е:
а) важно (ако сме открили бъг в класификацията на множествата), или
б) революционно (ако сме опровергали Аристотеловия Закон за изключеното трето).

Красивият свят на числата

6/11/2025

Tеорема за красотата на числата:
Светът на числата е по-красив от света на хората.

Доказателство 1:
Простите числа са вдъхновявали най-светлите умове на човечеството. Простите хора не вдъхновяват никого; изразът "прост човек" е обиден дори в устата на прост човек.

Доказателство 2:
Понякога сумата на две ирационални числа е рационално число. При хората това е невъзможно; събереш ли ирационални хора, напразно ще чакаш рационален резултат.

Magic quintuples

5/26/2025

Find a quintuple of consecutive positive integers where the arithmetic mean of the divisors of any number of the quintuple (excluding the last) divides into its immediately following number.

The following are examples with:

triples (19,20,21), and
quadruples (1,2,3,4).

Кусурите на популярната математика

5/18/2025

Признавам че заглавието е подвеждащо. Днес няма да разискваме кусурите на популярната математика, а кусурите на математиците произвеждащи книги на тема "популярна математика". Отвори ли човек подобна книга, той трябва да е наясно че е твърде вероятно тя да му е последната. Било защото е безинтересна, било защото е неразбираема. Но най-вече защото в следващата ще пише за същите неща:

простите числа и числата на Фибоначи,
теоремата за ирационалността на числото "квадратен корен от 2",
теоремите на Питагор, Евклид и Ферма,
предположението на Голдбах и т.н.

Разочарован от еднообразието на тези книги, решавам да напиша нещо ново, свежо, просто и разбираемо. И така ...

Въпрос:
Знаете ли какъв е броят на естествените делители на естествените числа?

Пищов:
Под естествени разбираме целите положителни числа.

Отговор:
Броят на делителите е четно число, защото делителите могат да се групират на двойки. Елементарно, Уотсън, ако X=Y*Z, то двойката делители се състои от числата Y и Z. Колкото и такива двойки D(X) да имаме, броят на дeлителите d(X)=2*D(X) е четно число. Единствено т.н. квадратни числа (1,4,9,16,25,...) имат нечетен брой делители, по простата причина че X=Y*Y.

Каква е ползата от горното знание:
Ще го използваме за доказване на теорема, открита (за пръв път) от Изкуствения интелект HR и доказана (за пръв път) от "татко му" Саймън Колтън (виж тук). И така ...

Дефиниция:
Рефакторируемите числа са числата, делими (без остатък) на броя на делителите си. Редицата им започва така: 1,2,8,9,12,18,24,36,40,56,60, ...

Теорема:
Нечетните членове на редицата на рефакторируемите числа са квадратни числа.

Доказателство:
Нечетно число с четен брой делители (напр. 15 или 21) не може да е член на редицата на рефакторируемите числа (съгласно дефиницията по-горе). Следователно, нечетните членове на редицата са квадратни числа (съгласно отговора по-горе). QED

Ода за точките

5/10/2025

Дисклеймър:
Това е стар текст с ново заглавие. Подновявам го заради Гугъл, белким сега поиска да го индексира.

Понеже днес съм на вълна точки (гледни и IQ), та се сетих за израза "фиксирана точка" и реших да напиша на български това, с което преди време станах известен чак в Китай. За незапознатите обяснявам: фиксираната точка на една функция f е точката x, в която x = f(x).

Теорема:
Функцията "Брой символи в името на числото x на американски английски" има една единствена фиксирана точка, а именно 4.

Следствие:
Рекурсивното прилагане на функцията към произволно число винаги ни "паркира" върху числото 4.

Пример:
Ако числото x = pi*r^2, то името му е "pi times r squared", a f(x) = 15, f(15) = 7, f(7) = 5, f(5) = 4, f(4) = 4.

Послепис:
Eто нещо, което го нямаше в оригиналния ми пост. Става ли дума за българския, фиксираната точка на функцията е 3 (три), където f(3) = 3. Но при нас има и друг вариант - да изпаднем в порочен кръг между f(4) = 6 и f(6) = 4, от който няма измъкване.

Числата не са самотни, особено простите

4/22/2025

Математическите ми занимания са елементарни, ако не за публиката, то за математически образованата публика. Свързани са с промяна на гледната точка към даденостите, вкл. с построяване на родословни дървета. Например:

рамануджановите висококомпозитни числа се оказват Цумкелерови числа,
перфектните числа произлизат от хармоничното семейство на числата на Оре, макар че имат собствени странности.

Правенето на родословни дървета (както за хората, така и за числата) е мръсно и рисково за автора занимание, ще кажете. Току-виж откриеш нещо съмнително или дори нечисто. Не, истината е истина, дори когато някои я смятат за нечиста. А и какво нечисто има в това да видиш че числото 6 е едновременно:

перфектно (но и анти-перфектно) число,
висококомпозитно число,
Цумкелерово число, и
число на Оре?

Числото 6 има още много лица. Хората правят цели енциклопедии*, в които можем да оглеждаме различните числа и да виждаме (ако не всичките им, то поне) някои техни лица.

Ще се направя на интересен и ще завърша така:
Да ме извинява физикът Паоло Джордано, но ... да се говори за самота на числата, и особено за самота на простите числа, е глупаво. Каква самота, когато простите числа** създават семейството на целите положителни числа, от които на своя страна се пръкват всички гореизброени семейства, а и безкраен брой други?

______________________________________________________
* тази е с 10^15 (уеб)страници
** съгласно Фундаменталната теорема на аритметиката

животът е НАИСТИНА по-странен от измислица

4/13/2025

Този път няма да пиша за моите измислици, а за това как един малък "Уил Хънтинг", индийският 10-токласник Шреянш Джайсуал, е победил 2 проблема, които един български професор, 2 пъти доктор на науките и академик на БАН е поставил публично, но не е пожелал (или посмял) да нападне.

Was Euclid legally blind?

4/6/2025

And what about his colleagues? Why were they able to question his Fifth postulate from the very beginning, but started questioning his First postulate only in the 20th century (when the opaque sets were invented)?

Двете лица на математиката

3/30/2025

Математиката е като светлината:

непрекъсната и дискретна,
способна да осветява, но и да заслепява.

Шиничи Мочизуки и нерешимото

3/17/2025

Шиничи Мочизуки, професор от Изследователския институт за математически науки към Университета на Киото, твърди че е решил сложен математически проблем (a+b=c). Много от колегите му не са сигурни дали го е решил, защото смятат решението му за прекалено дълго и неразбираемо.

Аз бих дал на Мочизуки и колегите му друг проблем за решаване, който не съм сигурен дали биха могли да решат. Ето го: S = М union {?}

Преведено на прост български:
След като е всеобщо признато че множеството на математиката М включва елементите: аритметика, геометрия, алгебра, анализ, дискретна математика, математическа логика, статистика и т.н., то какво освен М включва множеството S на математическите науки?

Изводът, и той с мастило за първи клас:
Тръгнали са да се занимават със сложни математически проблеми хора които не могат да броят, т.е. които не могат да решат кога да използват единствено и кога множествено число.

Блондинки-фантазьорки и брюнетки-позьорки

2/24/2025

"Нобелистите са 870. Олимпийските златни медали са хиляди. Оскарите? На кой му дреме. За да си част от Клуба на наистина изключителните (първата стотица) ти трябва да имаш (краен) Ердьош-Бейкън-Сабат номер" ... така започва статия, посветена на физика Лорънс Краус. От статията научаваме че освен Айнщайн, Стивън Хокинг, Карл Сейгън и самият Краус, такива номера имали актрисите Лиса Кудроу и Натали Портман.

Щрак ... включва ми се bulshit-детекторът. Да има актриси в клуба на изключителните е толкова фантастично ... колкото Мария Бакалова да каже "орбитофронтален кортекс" вместо "п?тка" във филм за Борат Сагдиев.

Да вземем за пример Натали Хершлаг, известна под името Натали Портман. Статията в Уикипедия твърди че нейният ЕБС номер е 11 (на база на нейния Ердьош-номер 5). Уви, това е долна лъжа. Както е написано още в първото изречение на статията, Ердьош-номерата се измерват чрез авторството на математически статии (може и книги). Има допълнително изискване - те да са наистина математически (research), а не свързани с историята, философията или преподаването на математиката. Творбата на която бакалавърката по психология Портман е съавтор няма нищо общо с математиката, а с психологията на пеленачетата.

Ситуацията с блондинката Кудроу е подобна - бакалавърката по биология е съавторка на баща си в статия за десняко-левичарските аспекти на главоболието. Предлагам им тема за следваща статия: "Шуробаджанащина при изследванията на главоболието".

Е, има някаква светлинка в тунела. Преди да стане бакалавър по математика, актрисата Даника Маккелар е написала (като съавтор) това. Не че разбирам нещо от него, но на външен вид ми изглежда съвсем математически. Дали би минало за математика пред специалисти е трудно да се каже, но Маккелар определено е по-близо до истината от Портман и Кудроу. Обаче ... Маккелар не се вписва изобщо в Клуба на изключителните, защото в музикално отношение я няма никаква. Сори, Даника!

Идеи, символни репрезентации и Ердьош-номерации

2/23/2025

Карл Фридрих Гаус е запомнен с афоризма че това което ни е нужно са идеите, а не символните репрезентации. Не съм аз човекът, който ще си позволи да го критикува, но ще отбележа че и репрезентациите са също важни. Не е случайно че програмистите си подслаждат (и опростяват) живота с т.н. синтактична захар.

Отдалеч започнах, признавам, но веднага ще премина към основното. Ако някой се е учудил на вчерашната ми смехотворна претенция, под формата на равенството А000203(n) = A000593(n)*A038712(n), то държа да отбележа че тук става дума за "математическа захар". В истинския си вид равенството изглежда значително "по-страшно":

където

е т.н. Канонична репрезентация на естествените числа, a

е т.н. побитов XOR.

Написана с мастило за първи клас горната чудесия звучи така:
Сумата на делителите на естественото число n е равна на произведението от:
a) сумата на нечетните делители на n, и
б) n XOR (n-1).

Послепис от 4.05.2025 г.
Срамота! Пропуснал съм да отбележа че формулата по-горе илюстрира частен случай на следната моя теорема.

Доближих се до Кевин Бейкън, да се готвят Блек Сабат

2/22/2025

Благодарение на отличния Бейкън-калкулатор и вроденото ми любопитство, открих че моят Бейкън-номер е 3 (през Росица Данаилова).

Започвам да търся Сабат-калкулатор, че да видя дали не може да си подобря Сабат-номера, който засега е 3. Ердьош-калкулаторът отдавна го знам, но там (както се казваше в рекламата): Не става само със свирене (и снимане), трябва и акъл!

Послепис
1. Засега съм изпреварил Айнщайн, с неговия Бейкън-номер 4 и Сабат-номер 5.
2. Доколкото Ердьош-номерата се дават за авторство на research papers в математиката (но не и в химията, физиката, езикознанието, богословието и т.н.), то посоченият тук номер 2 на Айнщайн е фалшив. Както и тези на физика Стивън Хокинг и актрисите Натали Портман и Лиса Кудроу (за които ще докладвам допълнително). Дали не съм на път да разкрия световна конспирация?

Послепис 2
Ако Ердьош-номерата се даваха просто за писане на нещо, то моят номер е 4, заради съавторската ми формула, която на "жаргона" на OEIS се записва така: А000203(n) = A000593(n)*A038712(n).

С това свободно третиране на писането, излиза че моят комбиниран ЕБС-номер 10 (= 4+3+3) "надцаква" Айнщайновия номер 11 и Портмановия (също 11).

Проклетият осмоъгълник

2/10/2025

Вземаме осмоъгълник и поставяме на средата на страните му по кръгче. Същото правим и с върховете му. В кръгчетата поставяме уникални цели положителни числа, така че сумите на числата на всички страни на осмоъгълника да са равни. Да се изчисли коя е минималната сума на числата в кръгчетата, т.е. кои са числата и коя е пермутацията им!

Вървят ли двама на дълъг път

2/10/2025

"Ако двама души вършат едно и също, то не е едно и също", смятал Публий Теренций Афер. Лесно можеш да се убедиш в правотата му, видиш ли мадоните на Леонардо и Репин. Всеки, дори лаикът, би могъл да каже коя мадона предхожда другата.

В този контекст, математиката е по-интересна от изобразителното изкуство. Без специализирани знания, никой не би разпознал кое от доказателствата на Евклидовата теорема е на Евклид (3 века преди новата ера) и кое - на Сайдак (20 века след нея).

Some thoughts on Saidak's sequence

2/3/2025

Filip Saidak constructed the following sequence:
n, n(n+1), n(n+1)[n(n+1)+1], ...
where the factors of every term are pairwise coprime. Based on this sequence he proved Euclid's theorem.

The sequence above consists of numbers of type X, where X means natural. What else can it mean?

1. If n=6, then the Saidak's sequence consists of Zumkeller numbers (see Corollary 5 here).
2. If n>0 is a promic number, then the Saidak's sequence consists of promic numbers.
3. If n>0 is an even number, then the Saidak's sequence consists of even numbers.
4. If n and n+1 are coprime arithmetic numbers, then the Saidak's sequence consists of arithmetic numbers (since the arithmetic mean has multiplicative property, i.e. A(a*b) = A(a)*A(b), when a and b are coprime).

Any ideas for other meanings of X?

Ванчо Мегаломанчо разсъждава за прогреса

2/2/2025

Преди повече от десетилетие откривах нови доказателства на Питагоровата теорема. Голяма работа, ще кажете, такива откриваха всякакви НЕматематици:

художници (Леонардо),
политици (Гарфилд) и
физици (Айнщайн).

Прави сте, ще кажа ... и ще продължа.

Преди две години откривах нови доказателства на Евклидовата теорема (тук и тук). Голяма работа, такива има над 180, ще кажете. Вярно е, признавам, но те са само от професионални математици. Тук нещата са сложни и лаиците (като изключим мен) никакви ги няма.

Днес професионални математици доказват моите теореми (един от примерите е Теорема 5.1 тук). Математици да доказват теореми на лаици - това само аз и Наполеон сме го постигали.

Нумерологична лигавщина номер 2

1/12/2025

Първата ми нумерологична лигавщина беше посветена на числото 5. Тази е втората, та затова е посветена на ДВЕ числа: 666 и 777. И така ...

Знаете ли че ако повдигнете числото ДВЕ на степен
(Floor(е^п + п^е))^(φ(777)/φ(666)), където φ е Ойлеровата функция,
ще получите число, в което стринговете "777" и "666" се срещат по ДВА пъти?

Относно граматиката на математиката

1/10/2025

Увод
Съгласно Теоремата за интересните числа, всяко естествено число е интересно. Всъщност, да вземем за пример нещо по-просто - простите числа. Лесно можем да се убедим в интересността им:

2 е единственото четно просто число;
3 е най-малкото нечетно просто число;
5 е най-малкото просто число от вида 6к-1;
7 е най-малкото просто число от вида 6к+1 и т.н.

Изложение
Когато превеждаме от английски текстове свързани с числа, понякога е правилно NUMBER да се превежда като ЧИСЛО. Например, PRIME NUMBERS се превежда като ПРОСТИ ЧИСЛА, а ODD NUMBERS - като НЕЧЕТНИ ЧИСЛА.

В някои случаи българският език е по-богат от английския. Включително в случаите когато на една английска дума съответстват две или повече български. Английското NUMBER в някои случаи, напр. когато говорим за класиране, е правилно да се преведе като НОМЕР. WHO IS NUMBER ONE е правилно да се преведе като КОЙ Е НОМЕР ЕДНО.

За разлика от естествените числа, не всички актьори, музиканти и математици са интересни (а сред тези които са, не всички са интересни в еднаква степен). Затова съществуват съответните класации, чиято цел е да покажат кой е по-напред, т.е. по-интересен, от другия. По тази причина няма как да не стигнем до следното граматически правилно

Заключение
Когато говорим за това кой кой е сред актьорите, музикантите и математиците, трябва да използваме изразите БЕЙКЪН НОМЕР, САБАТ НОМЕР и ЕРДЬОШ НОМЕР, а не Число на Бейкън, Число на Сабат или Число на Ердьош.

На прост български: за разлика от простите числа където 2 и 3 са еднакво интересни, Ердьош номерът 2 е по-интересен от Ердьош номера 3.

Живот, по-странен от измислица

11/30/2024

Сетихте се, през 2006 г. излезе филм с подобно заглавие - Stranger than fiction. А сетихте ли се за "Добрият Уил Хънтинг" от 1997 г.? Там един чистач в университета откри на една дъска в коридора нерешен математически проблем и като на шега го реши.

Моят случай е по-странен от измислицата с Уил Хънтинг:

1. Вместо да решавам нерешени математически проблеми, аз измислям такива, а друг ги решава (както се случи с Михел Деккинг, виж тук, или с Нийл Слоун, виж тук).*

2. Понякога, което е още по-странно, измислям математически обекти, а проблемите, свързани с тях ги виждат и решават други (както се случи с Бабеш Дас и Юнитарните цумкелерови (и полуцумкелерови) числа).

Ще го кажа другояче:
Уил Хънтинг беше нещо като пешеходец, поел по пътя показан му от регулировчика (човекът, написал проблема на дъската). Аз съм на по-горното ниво (регулировчикът, описващ на дъската кои са проблемите) или на още по-горното (шефът на регулировчиците, даващ насоки къде биха могли да се появят проблемите).

_______________________________________________________
* и двамата са математици с Ердьош номер 2

Професионалисти срещу аматьори

11/16/2024

Ютюбърът Джейк Пол спечели единодушно боксовия мач с легендарния Майк Тайсън. Нищо чудно, случват се и такива работи. Ще дам един пример с моя милост.

В книгата си Antifragile Насим Талеб (професор по рисково инженерство и доктор по математика) твърди че ако на света имаше 20 лекарства и ние решим да добавим 21-во, то трябва да направим 20 изследвания за странични ефекти. Според мен, изследванията трябва да са
Sum[Binomial[21,i],{i,2,21}] - Sum[Binomial[20,i],{i,2,20}] =
= (2^21 - 21 - 1) - (2^20 - 20 - 1) = 2^20 - 1 = 1048575
и то само ако допуснем че всичките Sum[Binomial[20,i],{i,2,20}] изследвания за досегашните 20 лекарства вече са били направени и не са били установени странични ефекти.

Елементарно, Насим, странични ефекти при комбинациите от лекарства A&B, A&C и B&C може да няма, но те могат да се появят при комбинацията от лекарства А&B&C.

Послепис
Който не вярва че Талеб е толкова далеч от истината, нека потърси с Гугъл това: antifragile "if there are twenty unrelated drugs"

Дисклеймър
Малко нагласих заглавието; Джейк Пол е професионалист както в ютюбирането, така и в бокса.

Talent and circumstances

11/8/2024

Talent is not just something you have inside of yourself. It is also what circumstances allow you to express. Michael Jordan wouldn't have slam-dunked the ball had the basketball rim been 5 meters above the court.

There are "sports" where the rules change during the game. Last year, in a "game" of mathematics, this is what happened to yours truly: the "height of the rim" was gradually increased and his contribution did not warrant co-authorship (as initially promised), but only thanks (here, on page 17). Thus, yours truly lost (probably forever) the opportunity to "slam dunk" an Erdös-Bacon-Sabbath number of 10 (=3+4+3).

Моите песни все ще се четат

11/1/2024

Ех, този Вазов, какъв провидец се оказа! Написа "И моите песни все ще се четат" и те наистина се четат. Даже се подцени, не само се четат, но и се пише за тях. Е, ако трябва да сме точни, мнозинството от писачите са ученици и кандидат-студенти, по задължение.

И моите песни се четат. Даже се пише за тях. Но писачите го правят за кеф, не по задължение. И друго ... те не са ученици, а университетски преподаватели - бивши и настоящи.

Един за всички, всички за един?

10/25/2024

За повечето хора множествената склероза е автоимунно възпалително невродегенеративно заболяване, но Стаменко Математикът нарича с това име склонността да забравяме:

че не можем да говорим за елементите от името на множеството, и
че не можем да говорим за множеството от името на елементите.

Просто защото между елементите и множеството няма "единодушие". Ще дадем сравнително сложен математически пример, пък който може, нека го разгадае (или предложи по-прост):
Множеството на ненормалните числа е нормално множество (защото не е елемент на себе си, т.е. защото не е ненормално число).

Да припомним на читателя и какво са уклоните. Те са систематични и автоматични отклонения от нормалните когнитивни процеси (процесите на възприемане, обработка, съхраняване и възпроизвеждане на информация). Дори и най-здравият разум е податлив на уклони.

Стаменко смята множествената склероза за уклон, и следователно, тя не е болест. Всеки страда от нея, но кои са причините? Дали тя не се предава меметично, така както някои болести се предават генетично? Дали в основата ѝ не са хилядолетните навици:

на царе и политически партии (да говорят от името на народите),
на народите (да смятат че царе и политически партии говорят от тяхно име)?

Да споменем че в родината на Стаменко дори присъдите се издават от името на народа, въпреки че повечето от елементите на множеството "Народ" не подозират за това (или ако подозират, не са наясно с детайлите на присъдите и бройките на наказаните).