Category: Mathematics - Ivan's island

Случайности и закономерности

1/3/2022

Стаменко Математикът обикновено сънува интелектуални сънища: я е на конференция на историци в Кайро, я е на среща на литератори в София; я си говори с хан Аспарух, я с Иван Вазов. Дали е заради изпития по празниците алкохол, не се знае, но през нощта на първи срещу втори януари сънува нещо съвсем различно - побеждава в битка с ножове някакъв гаден нацист, а на финала на битката прозвучава песента "Добри познати", изпълнена от Михаил Белчев и Искра Радева.

По някое време Стаменко се събужда и от нямане какво да прави се заглежда в новините. По случай 100-годишнината от рождението на Блага Димитрова излязла препечатка на нейна стихосбирка, в която е включено стихотворението "Бяхме най-близки", изпято от Белчев и Радева. В стихотворението поетесата отбелязва, наред с всичко останало, че "няма среда в любовта".

Стаменко дочита статията, подходящо озаглавена "Няма среда в любовта", и си казва че съвпадението "сън-статия" е чисто случайно. Виж, с това за средата не е съгласен - в любовта има закономерности, една от които е че щом има начало и край, то няма как да няма среда. Това важи както за интервала от време, така и за амплитудата. Елементарно, Уотсън, съгласно Теоремата за междинната стойност, при започналите щастливо и завършили нещастно любови, няма как между плюса на любовта и минуса на омразата да не съществува нулата на безразличието.

Counting dominoes (general version)

11/19/2021

You have many double-six sets of dominoes. Find formulas for the minimum/maximum number of pips (dots) in any square of 2*n^2 tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.

PS
8 December 2021
Fausto Morales kindly provided the following formulas:

With k(0) = 34 , k(1) = 34, k(2) = 25 , k(3) = 19, k(4) = 32, k(5) = 29, k(6) = 11 and k(7) = 29,

Minimal case:
P(n) = 12*n^2 - k{abs[(n mod 12) - 7]}

Maximal case:
M(n) = 12*n^2 + k{abs[(n mod 12) - 7]}

Counting dominoes

10/28/2021

You have many double-six sets of dominoes. Find a formula for the minimum number of pips (dots) in any square of 2^(2n - 1) tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.

PS
17 November 2021

I was able to find recurrences for the minimum number of pips
p(n) = 3*p(n-1) + 3*p(n-2) + 4*p(n-3) + 246, with p(1) = 1,
p(2) = 19, p(3) = 173 and p(4) = 734,
and for the maximum number of pips
m(n) = 3*m(n-1) + 3*m(n-2) + 4*m(n-3) - 246, with m(1) = 23,
m(2) = 77, m(3) = 211 and m(4) = 802.

Fausto Morales showed much better thinking (as always) and found closed formulas for the minimum number of pips
p(n) = 3*(2^2n) - 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) + 1, with p(1) = 1,
and for the maximum number of pips
m(n) = 3*(2^2n) + 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) - 1, with m(1) = 23.

Да обориш Аристотел

10/25/2021

Понеже съм "титан" на мисълта, способен съм да оборя Аристотел. Не просто Аристотел, а неговия логически Закон за непротиворечието, според който не може в един и същи момент да е вярно едно нещо и отрицанието му. Ще го направя не с позоваване на математически инструменти, a с позоваване на историята на математиката.

Математикът Херман Вайл нямал късмет - захласнат в математическата си кула от слонова кост и пътувайки по конференции, той пропуснал да забележи че със задграничните си пътувания е нарушил американските закони за натурализация и е изгубил трудно придобитото си (и единствено) американско гражданство. Същевременно Вайл имал късмет, понеже умрял от инфаркт в Швейцария вместо да се притеснява от загубеното си гражданство и "пиленето" на жена му за това с кой акъл го е допуснал.

Ще кажете че не аз съм оборил Аристотел, а Вайл. Има нещо такова, но то отново е свързано с противоречие: Вайл е имал късмет (да умре в Швейцария, виж по-горе), но е нямал късмет (да разбере че със смъртта си е оборил Аристотел). Този късмет го имах аз, което ме навежда на мисълта за третото противоречие: това че имам късмет (да съм късметлията осъзнал оборването на Аристотел) означава че нямам късмет (да съм титанът на мисълта оборил Аристотел).

Магически квадрати за програмисти и лингвисти

10/5/2021

Замисляйки се по въпроса "Има ли БЪЛГАРСКИ алфамагически квадрат?", ми хрумна следния проблем:

Съществува ли двойка квадрати, единият от които е магически, а в другия квадрат, състоящ се от имената на числата в първия (всяко изписано на език по избор), буквите на всички имена са в азбучен (или обратен на азбучния) ред?

Бележки:
1. В английския има само едно "азбучно" число (40), в чието име буквите са в азбучен ред, и само едно "контраазбучно" число (1), в чието име буквите са в обратен на азбучния ред.
2. В българския няма азбучни числа, но има едно контраазбучно (3).
3. Следователно, ако искаме да намерим двойка квадрати, вторият от които да е контраазбучен (и в него да фигурират английскo и българскo име), то в първия квадрат трябва да присъстват числата 1 и 3.

Послепис:
За нуждите на контраазбучния квадрат можем да използваме числата: 1 (one, английски), 2 (два, руски), 3 (три, български), 5 (pięć, полски), 8 (оk, есперанто) и 12 (zwölf, немски). За съжаление, други езици не знам :-)

Алфамагически квадрати

10/4/2021

Съществува ли БЪЛГАРСКИ алфамагически квадрат?

Hardcore pornography and prime numbers

8/14/2021

What a piece of work is a man! He can't define what hardcore pornography is, but he can recognize it when he sees it (in the words of the world-famous American judge Potter Stewart).

With prime numbers, the situation is quite different - we can easily define them, but we cannot recognize them when we see them. Pierre de Fermat thought that
2^32 + 1 = 4294967297
is a prime number, but much later Leonhard Euler discovered it is not.

Ако чуеш че обществото ни е атомизирано, то ...

7/5/2021

... сигурно разговаряш с химик. Има нещо нереалистично в идеята за атомизираното общество - това че атомите му биха могли да се свържат в стабилни и красиви комбинации (ако не по други причини, то по случайност).

Не съм химик, и мисля че обществото ни е математизирано:
> всяка двойка хора са взаимно-прости - защото всеки мисли другия за прост човек;
> хората са точки в генерална позиция - защото мненията на нито една двойка не съвпадат и защото не съществува (партийна) линия способна да свърже (т.е. удовлетвори интересите на) която и да било тройка.

Amicable pairs

4/14/2021

A pair (a, b) such that sigma(a) = sigma(b) = a+b (where a<b and sigma(n) is the sum of the positive integer divisors of n) is called amicable pair. The number a (OEIS A002025) is always abundant and the number b (OEIS A002046) is always deficient. Is a+b (OEIS A180164) always abundant?

Mission impossible?

3/29/2021

Let c(x) be the x-th composite number, c(y) be the least composite number greater than c(x) that is co-prime to c(x), and d = c(y) - c(x). Is there an x, such that the respective d is neither prime, nor perfect square?

P.S.
March 30 2021
Wow! Fausto Morales found that
(75083 * 250480717) - (2^2 * 3^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 547) = 35

Of numbers and men

1/28/2021

Perfect numbers like perfect men are very rare. René Descartes
Zumkeller numbers like good men are at least one in a dozen. Yours truly

И мойте песни все ще се четат ...

1/23/2021

... беше казал адашът Вазов. Как да не му завиди човек!

Аз не съм завистлив. Вместо да завиждам, пиша собствени, математически, "песни" (проблеми и предположения). Понякога се случва и да ги доказвам. Даже се случва да доказвам и чужди такива. Накрая, дойде време да ми завиждат: моите песни започнаха не само да се четат, но и да се пеят, т.е. доказват, от други хора. И понеже става дума за математици, за които има статии в Уикипедия, то няма как да не си направя римувания извод че и моите песни са интересни.

Четворки

12/17/2020

Да се запише числото 32 с 4 четворки (и разни операции с тях)!

Това е лесната част. Трудната част е да се намерят поне 10 алтернативни начина на записване.

Лирическо отклонение
Разoчаровах се че мога да измисля разни елементарни неща от сорта на това:
32 = Sqrt(4)^(4 + 4/4),
но не и на това:

Излязох на разходка в парка за да надвия разочарованието и там ме осени нещо, разбиващо всякаква конкуренция:

Математиката (по думите на Филип Дейвис)

11/25/2020

Добре е че, за разлика от докторите, няма държавно лицензиране на математиците. ... Математиката не е в ръцете на академиите, нито е изключителна собственост на професионалните математици. Тя живее и бива оформяна от всички тези, които размишляват за нея, които я описват, валидират, прилагат и развиват. ...

Математическото мислене подлага на съмнение своите предпоставки. То постоянно преразглежда аксиомите и хипотезите на които се основава. Здравият разум рядко се съмнява в себе си. ...

За ползата, 2

10/12/2020

Преди 8 години, от моя стар блог пренесох тук следния текст:

Разправям вчера на приятел за открит от мен комбинаторен проблем. Той, който е инженер и програмист, ме гледа сякаш гледа извънземно, и ме пита каква била практическата полза от този "измислен" проблем. Не съм импровизатор, та затова чак сега мога да го обясня като за инженери и програмисти:

Ако попиташ инженерите и програмистите за какво би могла да послужи двоичната бройна система, те ще ти изброят хиляди приложения. Ако можеше да попиташ баща й, татко Лайбниц, той щеше да гледа изумено и да мълчи засрамено - откъде би могъл да знае. Да, ама ако не беше татко Лайбниц, изумено и засрамено щяха да мълчат инженерите и програмистите. Да не говорим че вторите, вместо бъгове в програмите си, може би щяха да търсят гъби в горите или руда в мините.

Сега, в книга от Браян Клег озаглавена "Реални ли са числата?", прочитам още по-кратка аргументация:

Преди въвеждането на комплексните числа, нито един учен или инженер не е казвал: "Това което искаме са квадратни корени от отрицателните числа. Те ще ни помогнат със следния проблем: ..." Съответно, нито един математик не е казвал "Как можем да решим онзи проблем на физиците?", преди да е измислил комплексните числа. Математиците просто са си играли със следствията на новата концепция и свързаните с нея правила. Практическите приложения са се появили по-късно.

Нито риба, нито рак

8/20/2020

Голяма новина: пазарната капитализация на Епъл надхвърлила 2 трилиона долара! Ако случайно сте пропуснали:
Пазарна капитализация = брой на акциите (без тези държани от самата компания) * текуща пазарна цена на акция

Ако случайно не сте мислили по въпроса:
Броят на акциите е обективна величина, а текущата пазарна цена е интерсубективна величина (т.е. необективна величина, чиято стойност обаче не е изцяло субективна, понеже се споделя от различни субекти). Е, чудно ли е тогава че съм сложил това заглавие? Не, не е, то се отнася до пазарната капитализация като феномен.

С думи прости:
Математиката учи че п и е са трансцедентни числа, но никой не знае дали п*е е трансцедентно число. Аналогично, никой не знае обективна величина ли е произведението на обективна и интерсубективна величини. Накратко, можете да вярвате че пазарната капитализация е нещо реално, но го правите на собствен риск.

Приказка за гении

8/18/2020

Има една категория хора, които си мислят че геният може да открие и реши всеки проблем. Глобално затопляне? Замърсяване на водата и въздуха? Блуждаещи астероиди? Няма страшно, достатъчно е да накараме следващото поколение гении да мисли за тези неща, а не за пари, социални мрежи или изкуствен интелект. Ех, де да беше толкова просто!

Някъде около 1784 година, 7-годишният Карл Фридрих Гаус изненадал учителя си по математика като събрал за минута числата от 1 до 100. Как го направил? Много просто, разделил числата на 50 двойки, всяка със сума от 101:
{{1,100},{2,99},...,{50,51}}.

Гениално, ще си кажете, ако не знаете че алгоритъмът за това е бил известен 21 века преди Гаус (вижте тук). Аз пък си задавам въпроса:
Как Гаус не можа да види че от 51 произволни (и различни) числа между 1 и 100, поне една двойка се сумира до 101?

И си отговарям така:
Малкият Гаус не можеше да види проблема, защото не разполагаше с Принципа на Дирихле, който се появи чак след 50 години. А как да решиш проблем, когото не можеш да видиш като проблем, и когото другите не виждат като проблем, че да ти го поставят за решаване?

Това последното беше риторичен въпрос. Подобни проблеми никой, дори и геният, не може да реши; проблемите са като плодовете - за да си пробваш зъбите с тях, те трябва да са узрели.

Колко члена има това семейство?

8/11/2020

Колко члена има "семейството" на корените на уравнението

x = τ(σ(x))*σ(τ(x)),

където с τ(x) означаваме броя на целочислените делители на х, а със σ(x) – сумата на целочислените делители на x ?

Алтернативна математика: 2 + 2 = 22

8/3/2020

Най-красивата математика, казват специалистите, била проста и изненадваща. Клипът, наречен "Алтернативна математика", показва че учителите по математика също са способни да изненадват другите. Ако сте го гледали, то сте видели че тези други могат да са училищни директори или журналисти, но не и ученици. За съжаление!

А сега, моята алтернатива. Аз да бях на мястото на учителката, щях да се опитам да обясня на детето че то не е извършило събиране, а е открило нова операция - конкатенирането. И че тя е доста по-различна от събирането, но си прилича с къпането, защото не е комутативна. Е, тогава би се наложило да му обясня и за комутативността*. Има риск, с подобни сложнотии, да отблъсна детенцето, но има и шанс да го изненадам и оттам ... да го запаля по математиката. Рискът, обаче, си струва.

Накратко:
На някои ученици са им нужни алтернативни учители по математика; на останалите не са им нужни нито математиката, нито учителите й. Ето това й е алтернативното на алтернативната математика.

_______________________________
* да си се съблякъл преди да се изкъпеш е съвсем различно от това да си се изкъпал преди да се съблечеш

За невидимите ръце и абстрактното мислене

8/1/2020

Прекланяме се пред Адам Смит заради невидимата му ръка. Как добре е описал с помощтта на една абстракция какво става в икономиката, казваме си с възхищение.

Абстракция е, но не съвсем. От една страна е абстракция, тъй като е ръка без тяло. От друга страна, ръката има "безброй" пръсти - производителите и потребителите, и следователно прилича на човешките ръце по това че има пръсти.

Истинската абстракция е ръката без тяло и без пръсти. Нея дори гениите трудно могат да видят. Евклид можа да види как невидимата ръка на простите числа, с безбройните й пръсти, върти машината на аритметиката, но не можа да си представи нулата - броят на пръстите на една ръка без пръсти.

Разбирачи

7/11/2020

Като човек изгубил години в занимания със застраховане, ми беше много смешно когато в разговори с разни топ-банкери и други финансисти чуех следното откровение: "Не че разбирам много от застраховане, но ...". Абе, офлюх, мислех си, аз не разбирам много от застраховане; ти не разбираш изобщо.

С хора, подобни на финансистите от горния пример, т.е. инженери, архитекти и икономисти, понякога си говорим за математика. Те си мислят че знаят математиката, понеже са я учили в университета, стигайки максимум до началото на 19-ти век. Вярно е, учили са нещо и могат да го прилагат някак, но са поне с два века назад. "Моята" математика не е учена, а е правена, пък и е (в пряк и преносен смисъл) от 21-ви век, като в някои случаи е съвсем прясна - от тази година. През януари, например, изпреварих с една лема академичен екип от двама индийци и иранец*. И въпреки всичко, никога не бих се осмелил да кажа че разбирам от математика, хеле пък много.

_____________________
* лемата доказва че ако z е цумкелерово число, то и 2z също е; тук е моят вариант (под името Лема 1) от 31.01.2020, а там - техният (под името Теорема 4.12), който е публикуван в Journal of Number Theory през декември 2020

Тъпа теорема номер 2

6/22/2020

На Димитър Стефанов, комуто се понравиха тъпите ми теореми, посвещавам следната (освен тъпа, тя е и много стара):
Броят на четните и нечетни цели неотрицателни числа несъдържащи Е в името си е равен.

И като го написах се сетих че един китайски програмист беше сложил в блога си мое доказателство на чуждо предположение, свързано с имената на числата. Адресът на блога нещо ми се губи, но оригиналът е тук.

Тъпа теорема

6/22/2020

Не, не става дума за тъпоъгълни триъгълници, а за имената на числата:
На български, името на всяко число съдържа по-кратка валидна българска дума.

Пример: проЧЕТИ ЧЕТИри!

Моят син Алгоритъм Янакиев

6/1/2020

Започнаха да споменават разни мои дребни открития във френски научно- популярни списания и блогове на китайски. Този месец се изкачвам в класацията и виждам името си на сайта на ETH - най-добрият европейски технически университет и алма матер на Айнщайн.

Алгоритъмът го измислих през 2010 г., но досега никой не го беше свързвал с името ми. "Грешката на художника" е поправена, вече има нещо кръстено на мен: Алгоритъм на Янакиев.

Няма да забравя да благодаря отново на Пламен Антонов за реализацията на алгоритъма. Ако не беше той (и специалната страница на сайта му), нещата щяха да се забавят чак до 2014 г., когато по неволя прописах на Wolfram.

Провинциализъм и грамотност

5/20/2020

Гледам как британски студент по математика разсъждава за аритметични диференциални уравнения. Дали ги учат на такива неща или е проявил самостоятелен интерес? Не знам. Може и да ги учат, все пак става дума за Британия.

Ние, българите, обитаваме дълбоката провинция. Не само че тук такива неща не се учат, но и терминът "аритметична производна" можеш да срещнеш единствено при творческо използване на езика от страна на одитори. Което е супер-рядко явление.

Спомням си колко изненадан бях когато видях как български професор и 2 пъти доктор на науките се гордее че е измислил аритметичната производна през 1987 г. Не е вината в него - човекът е творец с главно Т, на който шапка трябва да се сваля. Виновни са неговите професори: не са го научили че има неща, които няма как да не са измислени преди теб; че има начини за търсене на подобни неща. Както казваше един друг умен българин, който не доживя да стане професор:

Грамотен е не онзи, който знае наизуст закона (който със сигурност вече е изменен), не дори който знае, че въобще такъв закон има, а онзи, който подозира, че не може да няма такъв закон и знае, къде да търси, къде да намери и как да разтълкува този закон.