Category: Mathematics - mISLANDia

Парадокс със социални мрежи

3/20/2020

Мрежите, казва Уикипедия, са графи в които възлите и ребрата имат атрибути (т.е. имена). Питам се кое прави една мрежа социална: атрибутите на възлите или атрибутите на ребрата?

Не ще да са атрибутите на възлите: една социална мрежа често има много асоциални и антисоциални възли. Вижте мрежата на Бил Гейтс в ЛинкдИн: Бил има само 7 контакта.

Сега за атрибутите на ребрата: могат ли да са социални връзките (ребрата) на асоциалните и антисоциалните хора (възли)? Ако могат, то защо наричаме хората "асоциални" и "антисоциални"? Ако не могат, то защо наричаме мрежите "социални"?

Как да разделим на две простите числа?

3/13/2020

Казват че хората били два вида:
1. такива, които делят хората на два вида и
2. такива, които не го правят.
Аз уж съм от втория вид, но това не ми попречи да разделя на два вида простите числа.

Вземаме везна и маркираме блюдата с + и -. Задаваме си въпроса "Има ли неизползвано просто число, което ще балансира везната ако го сложим на блюдото +?". Ако отговорът е да, слагаме това число на блюдото +, ако е не - слагаме най-малкото неизползвано просто число на блюдото -.

Интересни въпроси:
1. Ще се стигне ли до момент, в който няма да има какво да слагаме на блюдото +?

2. Можем ли, освен на ниво "везна", да балансираме простите числа и на нивото на двете отделни блюда? С други думи, може, ли да делим блюдата на отделни подблюда (а подблюдата - на подподблюда)? Докога?

Как ще ги стигнем американците?

2/20/2020

Гледам какво съм писал на 2 февруари тази година. Мери Самървил, само това ли успя да ми хрумне? Как точно аз - "специалистът" по палиндромите - не видях че датата е палиндром? Други са били по-наблюдателни и са установили че (имайки предвид това че различните народи използват различни формати на датите) за последно сме имали такъв "световен" ден преди 909 години - на 11.11.1111.

Е, успокоявам се, ако бяха с чак толкова остри погледи, то щяха да видят че:
а) И 909 е палиндром.
б) Следващият палиндромен ден, макар и не световен ще бъде след година - на 12 февруари 2021 - за българите, и след година и 10 месеца - на 2 декември 2021 - за американците. Ха сега кажете че не сме ги стигнали и задминали!

Хрумва ми и въпрос, ама понеже е 2:16 през нощта, та оставям отговорa за друг път:
Чий формат на датата (като следствие на Закона на Бенфорд или на нещо друго), дава възможност за по-чести палиндромни дати - нашият или американският?

Загадките на самоуките

2/19/2020

19-годишният китарист Dewey Bunnell създал най-простата песен в историята на рока - хитът "A Horse with No Name". Песента се състояла само от 2 акорда, но единият от тях бил загадка за теоретиците: те не разбирали как един самоук китарист може да стигне до главоблъсканицата наречена Dadd6add9, която била извън класацията "40 най-популярни акорда за рок-китаристи". А нещата били елементарни: авторът търсел лесен начин за подреждане на пръстите си, който освен всичко друго да звучи добре. Така се родил най-големият хит на групата "Америка".

И аз съм самоук, та затова едва сега ми хрумва че от години се занимавам с Диофантови уравнения. За тях знам само 2 неща:
1. че се интересуваме от целочислените им решения, и
2. че за тях няма общи теоретични подходи, а "нападението" трябва да е специфично за всяко "нападнато" (уравнение или система от уравнения).

Това непълно знание получих късно, което не ми попречи, подобно на Дюуи Банел, да започна математическите си импровизации с решаване на мои собствени диофантови уравнения (пример тук). Сега ми хрумва че дори и най-известното ми откритие (хипотезата, за която писаха тук) може да бъде записано като система от уравнения, при която се търсят естествени числа n, такива че:

p(n) = r(p(n))
p(p(n)) = r(p(p(n)))

където:
а) с p(n) означаваме n-тото просто число,
б) с r(n) означаваме обърнатото наопаки n.

За любителите на загадките: хипотезата ми е че единствено числата 1, 2 и 3 са решения на горната система от уравнения.

Thinking

2/6/2020

Thinking is similar to moving in two-dimensional space. Intelligence drives you forward, imagination drives you sideways. When there is no way forward, sideways travel is recommended.

Perfect numbers were discovered about 2500 years ago, but human intelligence has not revealed much about them. It is not known whether their number is infinite or whether there are any odd perfect numbers. In the early 21st century Reinhard Zumkeller pressed the pedal of his imagination and generalized the perfect numbers. Instead of unsuccessfully searching for proofs for the infinitude of the perfect numbers, the mathematicians started thinking about the Zumkeller numbers and finding interesting things about them. It is now known for certain that there are infinitely many Zumkeller numbers, that some of them are odd, and that out of every 12 consecutive natural numbers at least one is a Zumkeller number.

Elementary, my dear Watson, when you can't go forward and find something about a second thing, you can go sideways and find a third thing about a fourth thing.

Границите на математиката

1/28/2020

Древногръцките математици мислели за математиката като за рожба на линията и пергела. Това били разрешените инструменти и не е чудно че имало доста неразрешими и неоткрити неща. Например, нулата за която, освен линия и пергел, се искала и вяра в съществуването на нищото.

По-късно, математиката приватизирала разни (дотогава) нематематически инструменти, направила ги математически, открила нулата, а и много други неща. Остава, обаче, въпросът: "Сигурни ли сме че днешните инструменти на математиката са достатъчни за да може тя да върши тежкото си и благородно дело?" За момента, отговорът успокоява. Математиката не е спряла да колекционира инструменти; в днешно време тя, освен събирането, умножението, диференцирането и интегрирането, ползва и инструменти взети сякаш от работилницата, чертожната и плод-и-зеленчука: залепването (конкатенирането), изрязването (изтриването), прегъването (говоря за оригами-математиката), преобръщането (говоря за палиндромите), сортирането и какво ли още не. Например, въпросът за намиране на частното

Удвоена сума на делителите на n
__________________________________________
Сума на нечетните делители на n

където n и съответните делители са естествени числа, може да се реши не само с умно използване на Теорията на числата, но и с механично използване на инструмента побитов XOR върху двоичните числа 2n-1 и 2n+1.

Въпросът е дали нещата ще продължат да бъдат такива, каквито са били досега, т.е. дали математиците ще могат да намират все по-нови и подходящи инструменти?

P.S.
Математикът Dana Mackenzie описва в кигата си The Universe in Zero Words притесненията си за бъдещите постижения на математиката, но той ги разглежда като функция на друга променлива (не на инструментите, а на наличните обекти за откриване):
Дали 21-ви век ще разполага на склад с монументални изненади от сорта на квантовата физика, теорията на хаоса и Теоремата на Гьодел за непълнотата? Невъзможно е да се предскаже, но на мен гореизброените ми напомнят за океани, които могат да бъдат преплувани за пръв път само веднъж. На географите им свършиха континентите за откриване, и изглежда възможно математиците да се сблъскат със същия проблем.

Границите на творчеството

1/27/2020

Творчеството сякаш няма граници. Преди десетки хиляди години А измислил броенето. Казват че бил овчар и носел торбичка с камъчета. Когато вечер прибирал овцете, за всяка прибрана овца той отделял по камъче. Ако в торбичката останели камъчета, това значело че има изгубени овце и А тръгвал да ги търси. Ако камъчетата свършели преди овцете, то А очаквал визита от някой съсед - да си търси овцете.

Творчеството сякаш няма граници. Минало време. Б решил да си спести носенето на камъчета и измислил имена за броенето: една овца, две овци, три овци. По-късно В решил да си спести повторенията (овци, овци, овци) и ги пропускал. Така В измислил числата: едно, две, три.

Творчеството сякаш няма граници. Минало време. Понеже числата винаги се появявали слухово подредени, Г решил да ги подреди визуално. Така се родила линията на числата. Няколкостотин години преди Христа, китаецът Д се сетил да подреди числата в две измерения; така се родил магическият квадрат. А хората започнали да измислят какви ли не неща за него.

Творчеството сякаш няма граници. Минали 2 хилядолетия. На К му се сторило че заниманията с магически квадрати са стигнали до преливане от пусто в празно. Той решил да подрежда числата в магическия квадрат триизмерно. Всяка клетка от квадрата получавала височина, равна на числото в нея. Магическите квадрати заприличали на квартали в Ню Йорк. Творецът К не спрял дотук. Той видял че падне ли дъжд в някои квартали, водата се оттича. В други квартали водата се събира. Така К сътворил концепцията за водозадържането. Сега въпросът бил: "Колко вода ще се събере в квартала Х?"

Ще кажете че творчеството няма граници и можем да очакваме подреждане на числата в 4, 5 и повече измерения, както и разни други операции с тях. Не бързайте, забравете за операциите с числата и помислете за операциите с водата. С нея извършваме същите операции, които е правил и А преди десетки хиляди години: търсим я и я намираме, пием я и се мием. Можем да я задържаме по-добре от А (в язовири и бутилки), но я харчим повече от него. И най-важното: подобно на А, нямаме сили да произвеждаме вода (въпреки че уж знаем как). Творчеството, колкото и да не ни се ще, има граници!

Образование и наука по американски

1/10/2020

Вижда треската в чуждите очи, а гредата в своите не вижда.
Българска поговорка

Американски психолози от елитни университети (Чикагският и UCLA) написали хубава статия, в която критикуват слабостите на американското средно и полувисше (от типа "community college") образование, и в частност - образованието по математика. Учениците и студентите били приучвани на сляпо прилагане на наизустени алгоритми, а не на това кога и как да ги прилагат и не на това как да изграждат връзки между базови математически концепции. Звучи ли ви познато? Значи сте чели някои неща от този блог или сте мислили по въпроса.

Един от примерите на психолозите: студент трябва да постави дробта 4/5 на числовата линия; поставя я по средата между числата 4 и 5. Ужасяващо, нали? За мен, обаче, най-ужасяващи се не толкова отговорите на студентите, колкото въпросите на учените. Един от тях е: "Кое е по-голямото число: а/5 или а/8 ?" На този въпрос смогнали да отговорят "правилно" едва 53% от студентите. Едва 15% от студентите се опитали да разсъждават: "Aко разделиш два еднакви хляба на 5 и 8 части, частите на кой хляб ще са по-големи?"

Захласнати в порива си да анализират и оправят американското образование, психолозите не са забелязали че (подобно на студентите) са били в плен на "слепи" алгоритми и че (подобно на студентите) са забравили да разсъждават:
> Числата не са хлябове; те могат да бъдат отрицателни, което преобръща верния отговор на 180 градуса.
> Още по-лошо, числата могат да бъдат комплексни, което напълно обезсмисля въпроса кое е по-голямо.
С други думи, получила се е ситуация от вида "на тъп въпрос - тъп отговор".

Накратко:
В щатите средното, полувисшето и висшето образования (вкл. докторските програми по психология) имат проблеми да научат студентите на базовите математически концепции и връзките между тях.

Сега разбрахте ли защо започнах с поговорката за треската и гредата?

Креативност и рекреативност

1/9/2020

След като обучавал музиканти от Чикагския симфоничен оркестър на джаз-импровизация, майсторът на класическата и електрическата китара Jack Cecchini казал: "По-лесно е джазмен да се научи да изпълнява класически произведения, отколкото класически музикант да се научи да свири джаз. Защото джазмените са креативни, а класиците - рекреативни."

Тези дни открих ненаправена досега и неочевидна връзка между обекти от Абстрактната алгебра (групи) и обект от Теорията на числата (създадена през 21-ви век генерализация на перфектните числа). Странната връзка предизвика интереса на американски математик, който ме попита къде в мрежата може да се види доказателството. Естестено че нямаше къде, и за да довърша това което бях установил интуитивно и проверил опитно (за повечето случаи) с чужда програма, сглобих доказателство (за най-трудните случаи) на базата на чужди теореми.

Заради "либералното" използване на чужди неща в доказателството се питам: креативен ли съм бил или рекреативен. И се успокоявам че съм бил креативен: използвал съм чужди инструменти за да свиря собствена музика.

Изненадващата математика

1/4/2020

1. Вземете [n], т.е. {1, 2, ..., n}, т.е. множеството на естествените числа от 1 до n.
2. Избройте подмножествата на [n], които не съдържат уДВоен свой елемент.
3. Избройте подмножествата на [n], които не съдържат уТРоен свой елемент.

Не е ли изненадващо че за изчисляване броя на подмножествата по т. 2* има формула, а за тези по т. 3** - няма?

______________________________
* OEIS A050291
** OEIS A050293

Лаици и специалисти

8/2/2019

Лаиците си нямат идея какво и за какво говорят. Когато чуеш някоя тетка да ломоти за негативна енергия, трябва да си сигурен че тетката не е запозната с физиката и няма идея какво означават думите негативна и енергия поотделно, хеле пък заедно.

Специалистите имат някаква представа за това какво и за какво говорят, но това не значи че представата им е детайлна и правилна. Ако един специалист ти каже че инфинитарните перфектни числа са цумкелерови числа, това може и да е вярно. Въпросът е знае ли специалистът какво са цумкелеровите числа и какво са инфинитарните перфектни числа.

Естествено че знам, ще рече специалистът. Цумкелеровите числа са числа, делителите на които могат да бъдат разделени на 2 непресичащи се множества с равни суми на елементите. Инфинитарните перфектни числа пък са числа к, сумата от инфинитарните делители на които е равна на 2к. Брей, знае си урока, ще кажете, и няма да се сетите да го попитате дали знае какво са инфинитарните делители на к. И ще сбъркате, защото може да се окаже че не знае. Елементарно, Уотсън, специалистът не знае всичко (включително и това че не знае всичко). Затова той много често си мисли че знае всичко (по което си прилича с лаика).

Българският парадокс

7/10/2019

Сеща се Спирос за един професор по математика, който му разправяше как изкарал най-лесните 1000 лева в живота си: на някакъв гъзар му отрязали европроекта заради грешна математическа аргументация; гъзарят се свързал с професора, който не пипнал нищо по проекта, а само проверил елементарните сметки и видял че на едно място трябва да има плюс вместо минус. Сеща се Спирос че и той самият изкарваше най-лесните пари в живота си по същия начин: като член на борда на директорите на една компания, вместо да се прави на интересен на акционерите заради някои неразумни политики, той се правеше на интересен на главния финансов директор - заради грешки във формулите за оценка на инвестициите в ценни книжа.

Замисля се Спирос за това може ли един проект да завърши добре ако математиката му е грешна. Странно е, но има такива проекти: проектите, в които няма нужда от математика; проектите в които тя се появява само за да покаже колко компетентен е някой гъзар или финансов директор. Поправяш грешните формули, но нищо друго в проекта не се променя: нито очакваната печалба, нито датата на приключване.

Виж, един проект не може да завърши добре ако идеята му е грешна. Един такъв проект е проваленият проект на българската училищна математика. Там целта е да накарат учениците да наизустяват и упражняват до побъркване разни алгоритми, вместо да ги научат да мислят в кои случаи да прилагат наизустените алгоритми и как*. Да вземем за пример събирането, за което 7 милиона българи си мислят това:
3 милиона българи + 4 милиона българи = 7 милиона българи.

Да, ама не! Няма алгоритъм, вкл. математически, в резултат на който да получиш 7 милиона българи накуп. С думите на математиката: множеството на причините способни да обединят всички българи в едно множество е празно множество. Независимо от това какво пише в учебниците им или над вратите на парламента им.

И тук Спирос бива осенен от просветление, чийто резултат си записва в тефтера под заглавието "Българският парадокс":
Съществува нещо, което обединява 7 милиона българи в едно множество, и това е неумението им установят че е невъзможно да са елементи на едно множество.

__________________________________________________________________
* да не говорим че не ги учат да измислят собствени алгоритми за досега невъзниквали случаи

Силата и слабостта на въображението

5/21/2019

Понякога въображението може да види неща, които очите не могат, например атомите и вирусите. Те са били открити от човешкото въображение и едва след това са били видени с очи.

В други случаи, без помощта на очите въображението е безпомощно. Можете ли да си представите защо за n>1, n елипси могат да разделят равнината на повече части, отколкото n окръжности?

За тези, които се интересуват:
1. максималният брой части на които n окръжности разделят равнината е n^2 - n + 2
2. максималният брой части на които n елипси разделят развнината е 2n^2 - 2n +2

Нула

5/14/2019

Задача с превишена трудност:
Да се намери n>58, такова че десетичното 5^n да не съдържа 0.

За програмисти със силни компютри

5/8/2019

Питагоровата тройка (3,4,5) се състои от триъгълното число 3, квадратното число 4 и пентагоналното число 5. Други такива тройки са (9,12,15), (100,105,145) и (900,2625,2775). Да се намери поне една от следващите тройки!

Kolmogorov's Button

3/3/2019

Обаждам се на приятел да го поздравя по случай рождения му ден. Разговорът е симетричен: започва с моите пожелания и завършва с неговите - да съм публикувал нещо математическо. Как да му кажа че математическите ми открития са несвързани едно с друго и имат средна дължина от 2 изречения? Такива неща никой не публикува. Затова ... решавам сам да си публикувам нещо старо, отпреди 7 години.

When he was a 5-year-old boy Andrey Kolmogorov asked questions like
How many distinct patterns can you create with a thread while sewing on a four-hole button?

Unfortunately, there is no information on the Web what the answer was and had Kolmogorov found it himself. In a book about Grigori Perelman, Masha Gessen admitted that two professional mathematicians, both former students of Kolmogorov, had given different answers.

We found the number of patterns p in several cases where single-color thread was involved. We also found the number of patterns in several cases where threads of different colors c were used, including the case where the buttonholes were located on the vertices of a generic convex n-gon (i.e. a convex n-gon with no more than two diagonals intersecting at any point in its interior). Now, let us try the more complicated case involving different color threads and buttonholes located on the vertices of a “plain vanilla” regular convex n-gon and then generalize our findings with respect to all convex n-gons.

Assumptions:
A1. It is mandatory to utilize the buttonholes. There are many ways to sew on a button without utilizing the buttonholes but let us forget about them for the time being.
A2. All n buttonholes are located on the vertices of a regular convex n-gon.
A3. Different-color threads might be used for different segments between the buttonholes.
A4. Only buttonhole-to-buttonhole connections are used. No cross-border connections are allowed.

Calculation:
1. Some of the regular convex n-gons are generic ones – those, whose number of vertices is an odd number (n=2q+1) plus the square, where n=4. We have already found (see OEIS A209916) that for the generic convex n-gons the number of patterns p is
p = {(c+1)^[(n-1)n/2] * [c(c-1)]^C(n, 4)} - 1
as all possible intersections totaling C(n, 4) must be counted twice when two differently painted diagonals, totaling c(c-1), intersect (as two different patterns exist for every two colors, which you can see below).

Now we will cover those regular convex n-gons where n is an even number greater than 4 (i.e. when n=2q and q>2).

2. Thanks to Bjorn Poonen and Michael Rubinstein and their article “THE NUMBER OF INTERSECTION POINTS MADE BY THE DIAGONALS OF A REGULAR POLYGON” we know some things about regular polygons that we can use now:
a) When n=2q the number of diagonals intersecting at a point (except for the center of the n-gon) may be 2, 3, 4, 5, 6 or 7;
b) When n=2q the number of diagonals intersecting at the center of the n-gon is n/2.

3. The number of intersection points I(n) of the diagonals can be represented in the following manner: I(n)=i(2)+i(3)+i(4)+i(5)+i(6)+i(7)+i(n/2),
where i(k) (k=2, …, 7) is the number of points where k diagonals intersect and i(n/2) is the center of the regular n-gon where n/2 diagonals intersect (in the case of n=2q, q>1). Therefore, i(n/2) must be separately counted only in the cases where n=2q and q>7.

4. In it. 1 above, we saw that two different-color threads (e.g. red and green) look differently when the threads intersect (depending on which one is on top of the other). The same is true when the number of different-color threads is 3, 4 and more (see below how many patterns are there when three differently painted diagonals intersect at a point).

Therefore, when trying to find the number of different patterns, it is not enough to count the number of edges and diagonals. We also have to count twice the cases where two different-color diagonals intersect, three times the cases where three different-color diagonals intersect etc.

5. Based on it. 2-4 above the formula in it. 1 above takes the following form:
p = (M1*M2*M3) - 1, where

and where -1 stands for the case when the button is attached to the cloth only by “0-color” threads, i.e. the case where the button is not attached at all.

6. This formula could be used for any convex n-gon, as long as we remember that in the cases of n=2q+1, as well as in the cases of n=2q and q≤7, we do not need to multiply by the third term (i.e. by M3) as the central intersection point either does not exist (when n=2q+1) or had already been handled (when n=2q and q≤7).

Чудесата на математиката и географията

2/22/2019

Вземи политическа карта на света и избери произволна страна! Знаеш ли че съществуват 4 точки от границата й, които са върхове на квадрат? Знаеш ли че все още не се е намерил умник способен да докаже че това е така?

Размисли за безсилието на ...

2/11/2019

Математиката
Могат да бъдат изчислявани и доказвани основно прости неща за простите неща. Да, обаче простите неща имат склонността да се комбинират с други прости неща, като в процеса на комбиниране се появяват много по-сложни и необясними неща. Например, математиците са наясно че с комбинирането на 5 сака и 3 панталона могат да се получат 15 костюма, но са безсилни да опишат математически модата и да дадат обосновани предположения за посоката на развитието й.

Словото
Пред истинското изкуство думите са безсилни. То е по-убедително когато те заведат до него и безмълвно ти го посочат с пръст, отколкото когато ти го обяснят. Казано а ла Витгенщайн: Какво е изкуството не може да се каже, но може да се покаже.

Какво се крие в "меланхолията" на Дюрер?

11/25/2018

В картината "Меланхолия I" от Албрехт Дюрер се крие един от най-известните магически квадрати.

Звучи странно, нали? Хем е известен, хем се крие? Да, от една страна е известен:
а) на математиците - като магически квадрат (на прост български: квадрат с N реда/колони, съдържащ естествените числа от 1 до N^2, подредени така че сумите на редовете, колоните и диагоналите да са равни),
б) на историците - като магически квадрат, средните клетки на чийто най-долен ред показват годината (1514) в която е е починала майката на твореца. Смъртта й е провокирала меланхолията, а оттам и картината, нарисувана през същата година.

И аз съм математик и историк в някаква степен, защото обичам да се ровя в математиката и историята, и да откривам по нещо. И мен ме мъчи меланхолията, защото тази година почина моята майка. Затова, с меланхоличното си вътрешно око, открих нещо което меланхоличният Дюрер е целял (за да се получи споменатото 1514), но което е останало скрито за наблюдателите: Симетрично разположените четворки от последователни числа (първа-последна и втора-предпоследна) образуват симетрични еднакви трапеци, обърнати на 180 градуса един спрямо друг.

Happy Ending Problem for Beginners

11/4/2018

The Happy Ending problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:

There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This simple theorem has a simple proof but, as the unheard of and complex concept of the so called convex hull is involved, the proof could be unintelligible to non-mathematicians, high school students inclusive. So, here is the simplest proof of mine, in which you can meet the familiar points and lines only.

Let us think about the five points as of two lines and an extra point. Line l1 is defined by P1 and P2, line l2 is defined by P3 and P4, and P5 is the extra point. There are only 3 cases to consider:

Case 1. Neither line intersects the segment between the points on the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 2. Each line intersects the segment between the points of the other line. One can build a convex quadrilateral by connecting the points on l1 and l2.

Case 3. Only one of the lines intersects the segment on the other line. Let us assume without loss of generality that l1 intersects the P3P4 segment of l2. P5 can be in any of the 18 parts of the plane, but fortunately those parts are of only 2 types, O (coming from Other) and S (coming from Same). O means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the other half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P2P4 allowing us to build the convex quadrilaterals P2P3P4P5 and P1P2P5P4).

S means there exists a line dividing the plane so that P5 is in one half of the plane and a triangle consisting of three of the other points exists in the same half such that when P5 is connected to two of its vertices a convex quadrilateral is built (see below the line P1P2 allowing us to build the convex quadrilateral P4P1P2P5).

We have just exhausted all possible arrangements of two lines and a point in a plane and proved that a convex quadrilateral can be built in each and every one of them. Q.E.D.

Красотата е в очите на наблюдателя

7/30/2018

Чудя се защо, от всичките 20 различни доказателства, създателите на статията "Ойлерова характеристика" в Уикипедия са избрали любимото ми доказателство (дело на Коши, от 1811 г.). Мисля, мисля и не мога да измисля нищо по-добро от това:

Мотото "Красотата е в очите на наблюдателя" е оправданието на занаятчията. Изкуството на твореца разкрасява гледката на много наблюдатели, без значение дали гледат "отдолу" или "отвисоко".

Happy ending problem: 3+3=5

7/12/2018

The Happy Ending Problem is the following simple statement:

Given any five points on a flat surface that are in general position, i.e. no two of them coinciding and no three of them on a straight line, prove that four of these points will always form a convex quadrilateral.

This is the latest proof of mine:

1. Let us start with the observation that a line can intersect three edges of a triangle at most (see below). The number of intersected edges can be zero, two or three, but the number of intersection points can be zero or two (point of entry and point of exit).

2. An edge (or its extension) of a triangle can intersect three edges of another triangle at most (see 1 above). In the extreme case where every edge (or its extension) of the intersecting triangle intersects three edges of the intersected triangle (see below):
a) The number of intersection points is six, i.e. the maximum, and
b) Any vertex of any of the triangles is collinear with two other vertices, and
c) No edges of the two triangles coincide.

3. As any three points in general position form a triangle, any five points in general position form two triangles sharing a vertex. At least one of the edges (or their extensions) of the intersecting triangle (let us call it a "useful edge") intersects two edges of the intersected triangle at most (otherwise we have a contradiction with the general position requirement, see 2 above). In other words, a useful edge (or its extension) does not intersect at least one edge of the intersected triangle (let us call it a “useless edge”). On the other hand, the useless edge (or its extension) does not intersect the useful edge (otherwise the number of intersection points would be six or more, a contradiction with the general position requirement, see 2 above). Therefore, by connecting this pair of (useful and useless) edges we can build a convex quadrilateral (see below). Q.E.D.

Mатематически олимпиади

6/4/2018

В подготовката за, а и на самата, математическа олимпиада ти дават задачи за които се знае че имат решение, с надеждата че когато пораснеш и се сблъскаш със задача за която не се знае дали има решение, ти ще допуснеш (на база на опита си) че задачата има решение и вместо да се откажеш, ще се захванеш да я решаваш. Което освен положителни има и отрицателни последици.

Днес имам още един възможен отговор на стария си въпрос:
Q: Защо повечето деца, спечелили медали от математически олимпиади, тънат в математическа неизвестност?
A: Защото са се захванали с решаване на нерешаеми проблеми, за които си мислят че са решаеми единствено заради успешния си олимпийски опит. Не е имало кой да каже на умните деца, това което се казва на малоумните инвеститори: "Миналото представяне не е гаранция за бъдещи резултати".

За Гаус, ама по друг начин

5/2/2018

Преди 2 дни прогресивната световна общественост чества годишнина от рождението на Карл Фридрих Гаус. Стотици журналисти и блогъри ни припомниха кой беше Гаус и какво направи за човечеството. Аз пък се сещам за нещо, което Гаус не направи.

В разговор на тема математика някой споменал на Гаус за Предположението на Голдбах. "Какво толкова се прехласваш, на момента мога да ти измисля 4-5 такива", казал Гаус и ... не измислил нищо.

Игра с прости числа

3/2/2018

Джоузеф Елис Тревър (1864-1941) бил професор по физикохимия в университета Корнел. Освен с обикновени атоми, обичал да си играе с прости числа (атомите от които е изграден светът на числата). Така се родила следната загадка:
Като се има предвид че всяка цифра, означена с въпросителна е просто число, да се намерят множителите и резултата.

Открих решението на загадката, но нали съм математик по душа, та се замислих за следното:
Дали за всяко просто число P1 може да се намери друго просто число P2, такова че произведението им да се състои само от цифри, които са прости числа?

Намерих отговора относно първите прости числа, но се оказва че (според видния математик Нийл Джеймс Александър Слоун) като цяло въпросът бил непосилен за съвременната математика.