Category: Mathematics

Можете ли да си представите, 2

6/1/2022

Светът е хем закономерен, хем случаен. Нещата не ни се явяват подредени (по-простото преди по-сложното), а в случаен ред. Не е ли и случайността в появата им проява на закономерност? Кой би могъл да си представи че Предположението на Голдбах няма да се роди в главата на някой от древногръците математици, всичките обсебени от простите числа, а ще трябва да чака чак до 1742 г.? Или че "простичката" Теорема на Наполеон не би могла да се появи първо в главата на Талес или на Евклид?

Не, тук не става въпрос само за простото и сложното, но и за грозното и красивото, както и за краткото и дългото. Да вземем за пример рок-музиката. Кой би могъл да си представи че 2 години след красивата и дълга Shine On You Crazy Diamond на Pink Floyd ще се роди грозната и кратка Anarchy in the U.K. на Sex Pistols ?

0 Comments

Истината на генерал Патън

5/20/2022

0 Comments

Не казвайте на хората как да правят нещата, кажете им какво да правят и ги оставете да ви изненадат с резултатите си. С това изказване бил запомнен генерал Патън. Има някаква истина тук, но тя е далеч от пълната истина.

Питагоровата теорема е не само една от най-древните и най-известните, но и е най-доказваната. Има и теорема, доказваща че само доказателствата на Питагоровата теорема чрез сечение са безкрайно много. Но дори тази ценна информация не мотивира търсачите на нови доказателства; факт е че за около 2500 години Питагоровата теорема е доказана само по около 370 различни начина. Вместо нея, математиците предпочитат да доказват своите теореми, и затова всяка година се "раждат" над 200000 нови. Така че аз бих го казал така:
Не казвайте на Хората нито как да правят нещата, нито какво да правят! Така те ще ви изненадат многократно повече!

Ако ви учудва това главно Х в Хората, то не е там случайно (понеже имам предвид малцинството с творчески наклонности). Доста обикновени хора не могат без това да им се казва какво да правят, а още повече - и без това да им се казва как да го направят. Затова първите имат нужда от мениджъри (офицери и генерали), а вторите - и от надзиратели (сержанти). Такива ми ти работи, бай Патън!

0 Comments

Доказателства

2/24/2022

0 Comments

Казват че Гаус имал десет различни доказателства за Квадратичния закон за реципрочност. Всяка добра теорема би трябвало да има няколко доказателства; колкото повече, толкова по-добре. Причините са две, обикновено различните доказателства имат различни силни и слаби страни, а и се генерализират в различни посоки. По тези причини, различните доказателства не са просто повторения едно на друго. Майкъл Атия

0 Comments

Български легенди ... през очилата на Лайбниц

2/10/2022

0 Comments

... ако възникнат противоречия, няма да има повече нужда от спор между двама философи ... Защото за тях би било достатъчно да вземат моливите в ръцете си, да седнат при сметалата и да си кажат: "Нека пресметнем!" Лайбниц

Сигурен съм че сте чували как никога българско бойно знаме не е пленявано от врага. А чували ли сте историята за командира на 19-ти шуменски пехотен полк подполковник Марин Куцаров? Когато врагът пленява полка, командирът решава да спаси от плен знамето и го скрива в хастара на куртката си.

Представете си следната математическа ситуация, в която а е елемент на множеството А, а А е подмножество на B. Мислите ли че е възможно а да не е елемент на B? Естествено че не е възможно. Да, ама Куцаров бил на друго мнение - той смятал че е възможно да е пленник, да крие знамето в себе си и, въпреки това, знамето да не е в плен.

0 Comments

МАЛОдУМИЕ

2/3/2022

0 Comments

Математиката май е стигнала до задънена улица, поне по отношение на терминологията. DERANGEMENT, което на обикновен английски означава ПСИХИЧЕСКО РАЗСТРОЙСТВО, за математиците означава пермутация на елементите на множество, при която никой от тях не запазва оригиналната си позиция. Толкова ли не можаха да намерят по-подходящ термин?

Това беше лошата новина. По-лошата новина е следната:
Това че на математиците им свършват термините означава че обектите изучавани от математиката са станали прекалено много. Дали това не е индикация че и те са на привършване?

0 Comments

Заблудата на Евклид

1/26/2022

0 Comments

Евклидовата книга се видяла трудна и дълга на фараона Птолемей, та затова той запитал главния си учен няма ли по-кратък път към научаването на геометрията. "Няма царски път към геометрията", отвърнал гордо Евклид.

Царски пътища не само че има, но понякога те са по-кратки. Питагор не е първият професионален математик открил Питагоровата теорема, тя е била позната на вавилонските математици хилядолетие преди Питагор. Подобна е историята с професионалния математик Паскал и неговия триъгълник, известен на китайците столетия по-рано. Накратко: Питагор и Паскал не са стигнали директно до нещата кръстени на тях, защото (макар и без да го знаят) са вървели по пътища прекарани от други. Това съвсем не е така с теоремата, известна като Теорема на Наполеон.

От една страна, няма данни теоремата да е била открита преди аматьора Наполеон, т.е. императорът сам (директно) е стигнал до нея. Ерго, с помощта на контрапример, опровергахме твърдението на Евклид че в геометрията (и математиката като цяло) няма царски пътища.

Като се замислим, в математиката има не само царски, но и благороднически пътища. Маркиз л'Опитал станал известен с това че си купувал винетки за тях от Йохан Бернули, ха-ха-ха.

0 Comments

Случайности и закономерности

1/3/2022

0 Comments

Стаменко Математикът обикновено сънува интелектуални сънища: я е на конференция на историци в Кайро, я е на среща на литератори в София; я си говори с хан Аспарух, я с Иван Вазов. Дали е заради изпития по празниците алкохол, не се знае, но през нощта на първи срещу втори януари той сънува нещо съвсем различно, а именно - как побеждава в битка с ножове някакъв гаден нацист, а на финала на битката прозвучава песента "Добри познати", изпълнена от Михаил Белчев и Искра Радева.

По някое време Стаменко се събужда и от нямане какво да прави се заглежда в новините. По случай 100-годишнината от рождението на Блага Димитрова излязла препечатка на нейна стихосбирка, в която е включено стихотворението, изпято от Белчев и Радева. В него поетесата отбелязва, наред с всичко останало, че "няма среда в любовта".

Стаменко дочита статията, подходящо озаглавена "Няма среда в любовта", и си казва че съвпадението "сън-статия" е чисто случайно. С това за средата не е съгласен - в любовта има закономерности, една от които е че щом има начало и край, то няма как да няма среда. Това важи както за интервала от време, така и за амплитудата. Елементарно, Уотсън, съгласно Теоремата за междинната стойност, при започналите щастливо и завършили нещастно любови, няма как между плюса на любовта и минуса на омразата да не съществува нулата на безразличието.

0 Comments

Counting dominoes (general version)

11/19/2021

0 Comments

You have many double-six sets of dominoes. Find formulas for the minimum/maximum number of pips (dots) in any square of 2*n^2 tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.

PS
8 December 2021
Fausto Morales kindly provided the following formulas:

With k(0) = 34 , k(1) = 34, k(2) = 25 , k(3) = 19, k(4) = 32, k(5) = 29, k(6) = 11 and k(7) = 29,

Minimal case:
P(n) = 12*n^2 - k{abs[(n mod 12) - 7]}

Maximal case:
M(n) = 12*n^2 + k{abs[(n mod 12) - 7]}

0 Comments

Counting dominoes

10/28/2021

0 Comments

You have many double-six sets of dominoes. Find a formula for the minimum number of pips (dots) in any square of 2^(2n - 1) tiles, having in mind that tiles from a new domino set are allowed only after the tiles of the current set have been exhausted.

PS
17 November 2021

I was able to find recurrences for the minimum number of pips
p(n) = 3*p(n-1) + 3*p(n-2) + 4*p(n-3) + 246, with p(1) = 1,
p(2) = 19, p(3) = 173 and p(4) = 734,
and for the maximum number of pips
m(n) = 3*m(n-1) + 3*m(n-2) + 4*m(n-3) - 246, with m(1) = 23,
m(2) = 77, m(3) = 211 and m(4) = 802.

Fausto Morales showed much better thinking (as always) and found closed formulas for the minimum number of pips
p(n) = 3*(2^2n) - 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) + 1, with p(1) = 1,
and for the maximum number of pips
m(n) = 3*(2^2n) + 5*(2^3 - 2^((n-1) mod 3)) - 1, with m(1) = 23.

0 Comments

Да обориш Аристотел

10/25/2021

0 Comments

Понеже съм "титан" на мисълта, способен съм да оборя Аристотел. Не просто Аристотел, а неговия логически Закон за непротиворечието, според който не може в един и същи момент да е вярно едно нещо и отрицанието му. Ще го направя не с позоваване на математически инструменти, a с позоваване на историята на математиката.

Математикът Херман Вайл нямал късмет - захласнат в математическата си кула от слонова кост и пътувайки по конференции, той пропуснал да забележи че със задграничните си пътувания е нарушил американските закони за натурализация и е изгубил трудно придобитото си (и единствено) американско гражданство. Същевременно Вайл имал късмет, понеже умрял от инфаркт в Швейцария вместо да се притеснява от загубеното си гражданство и "пиленето" на жена му за това с кой акъл го е допуснал.

Ще кажете че не аз съм оборил Аристотел, а Вайл. Има нещо такова, но то отново е свързано с противоречие: Вайл е имал късмет (да умре в Швейцария, виж по-горе), но е нямал късмет (да разбере че със смъртта си е оборил Аристотел). Този късмет го имах аз, което ме навежда на мисълта за третото противоречие: това че имам късмет (да съм късметлията осъзнал оборването на Аристотел) означава че нямам късмет (да съм титанът на мисълта оборил Аристотел).

0 Comments

Алфамагически квадрати

10/4/2021

0 Comments

Съществува ли БЪЛГАРСКИ алфамагически квадрат?

0 Comments

Hardcore pornography and prime numbers

8/14/2021

0 Comments

What a piece of work is a man! He can't define what hardcore pornography is, but he can recognize it when he sees it (in the words of the world-famous American judge Potter Stewart).

With prime numbers, the situation is quite different - we can easily define them, but we cannot recognize them when we see them. Pierre de Fermat thought that
2^32 + 1 = 4294967297
is a prime number, but much later Leonhard Euler discovered it was not.

0 Comments

нЕкои съображения: Зеници и интелигентност

7/8/2021

0 Comments

В Технологичния институт на Джорджия установили, че има връзка между големината на зеницата и коефициента на интелигентност (IQ). Може и да има такава връзка, а може и да няма. Дори и да има, връзката е статистическа, а не функционална. Елементарно, Уотсън, при различните хора размерът на зеницата се изменя в малки граници, а на интелигентността - в големи*. Което, съгласно принципа на Дирихле, ни води до извода че има хора с еднакви размери на зеницата и различни интелигентности. Което означава че** интелигентността не е функция единствено на променливата "размер на зеницата".

Това отдавна ми е ясно, ще каже интелигентният читател. Иначе защо интелигентността ще се мери с бавни и сложни тестове за интелигентност, а не с бързи измервания на размера на зеницата (или на банковата сметка)?

Това, което зениците на интелигентните читатели пропускат да видят е че ... не зеницата е важна, а това което виждаш с нея; не интелигентността е важна, а това което правиш с нея.

Лирическо отклонение
Във времената отпреди смартфоните, в една европейска столица живееше мой колега от компаниите Гаранциа Франциа и Интернационаале Унтерладен Хруп-хруп. Той беше собственик на най-голямата зеница, която съм виждал.

В родния си град, за да отиде от офиса си до популярен японски ресторант той сменяше 2 линии на метрото (плащайки 2 билета, че линиите бяха несвързани една с друга), след което ходеше пеша и успяваше да се изгуби (та му се налагаше да се допитва до минувачите). Знам го, защото съм бил в група чужденци, която му беше поверена за да ги заведе до ресторанта. Аз самият, още преди тази случка, знаех как да стигна до ресторанта с кратка разходка през най-хубавата част на града и без да се загубя.

И за да не забравя: толкова обикновен беше колегата в сравнение с повечето колеги/колежки, че за разлика от техните, неговото име ми се губи (въпреки че ми е бил колега на цели 2 места). Толкова по въпроса за големите зеници.

______________________________________
* ако не ме мами математиката, разликата в интелигентността на двама души с IQ=200 и с IQ=20 е 10 пъти
** спомняте ли си за Теста с вертикалната линия?

0 Comments

Ако чуеш че обществото ни е атомизирано, то ...

7/5/2021

0 Comments

... сигурно разговаряш с химик. Има нещо нереалистично в идеята за атомизираното общество - това че атомите му биха могли да се свържат в стабилни и красиви комбинации (ако не по други причини, то по случайност).

Не съм химик, и мисля че обществото ни е математизирано:
> всяка двойка хора са взаимно-прости - защото всеки мисли другия за прост човек;
> хората са точки в генерална позиция - защото мненията на нито една двойка не съвпадат и защото не съществува (партийна) линия способна да свърже (т.е. удовлетвори интересите на) която и да било тройка.

0 Comments

Amicable pairs

4/14/2021

0 Comments

A pair (a, b) such that sigma(a) = sigma(b) = a+b (where a<b and sigma(n) is the sum of the positive integer divisors of n) is called amicable pair. The number a (OEIS A002025) is always abundant and the number b (OEIS A002046) is always deficient. Is a+b (OEIS A180164) always abundant?

0 Comments

Mission impossible?

3/29/2021

0 Comments

Let c(x) be the x-th composite number, c(y) be the least composite number greater than c(x) that is co-prime to c(x), and d = c(y) - c(x). Is there an x, such that the respective d is neither prime, nor perfect square?

P.S.
March 30 2021
Wow! Fausto Morales found that
(75083 * 250480717) - (2^2 * 3^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 547) = 35

P.P.S.
April 29 2022
I found one more example
(281 * 2693 * 24852697) - (2^5 * 5 * 11 * 17 * 61 * 337 * 30577) = 21

0 Comments

Of numbers and men

1/28/2021

0 Comments

Perfect numbers like perfect men are very rare. René Descartes
Zumkeller numbers like good men are at least one in a dozen. Yours truly

0 Comments

И мойте песни все ще се четат ...

1/23/2021

0 Comments

... беше казал адашът Вазов. Как да не му завиди човек!

Аз не съм завистлив. Вместо да завиждам, пиша собствени, математически, "песни" (проблеми и предположения). Понякога се случва и да ги доказвам. Даже се случва да доказвам и чужди такива. Накрая, дойде време да ми завиждат: моите песни започнаха не само да се четат, но и да се пеят, т.е. доказват, от други хора. И понеже става дума за математици, за които има статии в Уикипедия, то няма как да не си направя римувания извод че и моите песни са интересни.

0 Comments

Четворки

12/17/2020

0 Comments

Да се запише числото 32 с 4 четворки (и разни операции с тях)!

Това е лесната част. Трудната част е да се намерят поне 10 алтернативни начина на записване.

Лирическо отклонение
Разoчаровах се че мога да измисля разни елементарни неща от сорта на това:
32 = Sqrt(4)^(4 + 4/4),
но не и на това:

Излязох на разходка в парка за да надвия разочарованието и там ме осени нещо, разбиващо всякаква конкуренция:

0 Comments

Математиката (по думите на Филип Дейвис)

11/25/2020

Добре е че, за разлика от докторите, няма държавно лицензиране на математиците. ... Математиката не е в ръцете на академиите, нито е изключителна собственост на професионалните математици. Тя живее и бива оформяна от всички тези, които размишляват за нея, които я описват, валидират, прилагат и развиват. ...

Математическото мислене подлага на съмнение своите предпоставки. То постоянно преразглежда аксиомите и хипотезите на които се основава. Здравият разум рядко се съмнява в себе си. ...

За ползата, 2

10/12/2020

Преди 8 години, от моя стар блог пренесох тук следния текст:

Разправям вчера на приятел за открит от мен комбинаторен проблем. Той, който е инженер и програмист, ме гледа сякаш гледа извънземно, и ме пита каква била практическата полза от този "измислен" проблем. Не съм импровизатор, та затова чак сега мога да го обясня като за инженери и програмисти:

Ако попиташ инженерите и програмистите за какво би могла да послужи двоичната бройна система, те ще ти изброят хиляди приложения. Ако можеше да попиташ баща й, татко Лайбниц, той щеше да гледа изумено и да мълчи засрамено - откъде би могъл да знае. Да, ама ако не беше татко Лайбниц, изумено и засрамено щяха да мълчат инженерите и програмистите. Да не говорим че вторите, вместо бъгове в програмите си, може би щяха да търсят гъби в горите или руда в мините.

Сега, в книга от Браян Клег озаглавена "Реални ли са числата?", прочитам още по-кратка аргументация:

Преди въвеждането на комплексните числа, нито един учен или инженер не е казвал: "Това което искаме са квадратни корени от отрицателните числа. Те ще ни помогнат със следния проблем: ..." Съответно, нито един математик не е казвал "Как можем да решим онзи проблем на физиците?", преди да е измислил комплексните числа. Математиците просто са си играли със следствията на новата концепция и свързаните с нея правила. Практическите приложения са се появили по-късно.

Нито риба, нито рак

8/20/2020

Голяма новина: пазарната капитализация на Епъл надхвърлила 2 трилиона долара! Ако случайно сте пропуснали:
Пазарна капитализация = брой на акциите (без тези държани от самата компания) * текуща пазарна цена на акция

Ако случайно не сте мислили по въпроса:
Броят на акциите е обективна величина, а текущата пазарна цена е интерсубективна величина (т.е. необективна величина, чиято стойност обаче не е изцяло субективна, понеже се споделя от различни субекти). Е, чудно ли е тогава че съм сложил това заглавие? Не, не е, то се отнася до пазарната капитализация като феномен.

С думи прости:
Математиката учи че п и е са ирационални (и трансцедентни) числа, но никой не знае дали п*е е ирационално (и трансцедентно) число. Аналогично, никой не знае обективна величина ли е произведението на обективна и интерсубективна величини. Накратко, можете да вярвате че пазарната капитализация е нещо реално, но го правите на собствен риск.

Приказка за гении

8/18/2020

Има една категория хора, които си мислят че геният може да открие и реши всеки проблем. Глобално затопляне? Замърсяване на водата и въздуха? Блуждаещи астероиди? Няма страшно, достатъчно е да накараме следващото поколение гении да мисли за тези неща, а не за пари, социални мрежи или изкуствен интелект. Ех, де да беше толкова просто!

Някъде около 1784 година, 7-годишният Карл Фридрих Гаус изненадал учителя си по математика като събрал за минута числата от 1 до 100. Как го направил? Много просто, разделил числата на 50 двойки, всяка със сума от 101:
{{1,100},{2,99},...,{50,51}}.

Гениално, ще си кажете, ако не знаете че алгоритъмът за това е бил известен 21 века преди Гаус (вижте тук). Аз пък си задавам въпроса:
Как Гаус не можа да види че от 51 произволни (и различни) числа между 1 и 100, поне една двойка се сумира до 101?
и си отговарям така:
Малкият Гаус не можеше да види проблема, защото не разполагаше с Принципа на Дирихле, който се появи чак след 50 години. А как да решиш проблем, когото не можеш да видиш като проблем, и когото другите не виждат като проблем, че да ти го поставят за решаване?

Това последното беше риторичен въпрос. Подобни проблеми никой, дори и геният, не може да реши, защото проблемите са като плодовете - за да си пробваш зъбите с тях, те трябва да са узрели.

Алтернативна математика: 2 + 2 = 22

8/3/2020

Най-красивата математика, казват специалистите, била проста и изненадваща. Клипът, наречен "Алтернативна математика", показва че учителите по математика също са способни да изненадват другите. Ако сте го гледали, то сте видели че тези други могат да са училищни директори или журналисти, но не и ученици. За съжаление!

А сега, моята алтернатива. Аз да бях на мястото на учителката, щях да се опитам да обясня на детето че то не е извършило събиране, а е открило нова операция - конкатенирането. И че тя е доста по-различна от събирането, но си прилича с къпането, защото не е комутативна. Е, тогава би се наложило да му обясня и за комутативността*. Има риск, с подобни сложнотии, да отблъсна детенцето, но има и шанс да го изненадам и оттам ... да го запаля по математиката. Рискът, обаче, си струва.

Накратко:
На някои ученици са им нужни алтернативни учители по математика; на останалите не са им нужни нито математиката, нито учителите й. Ето това й е алтернативното на алтернативната математика.

_______________________________
* да си се съблякъл преди да се изкъпеш е съвсем различно от това да си се изкъпал преди да се съблечеш

За невидимите ръце и абстрактното мислене

8/1/2020

Прекланяме се пред Адам Смит заради невидимата му ръка. Как добре е описал с помощта на една абстракция какво става в икономиката, казваме си с възхищение.

Абстракция е, но не съвсем. От една страна е абстракция, тъй като е ръка без тяло. От друга страна, ръката има "безброй" пръсти - производителите и потребителите, и следователно прилича на човешките ръце по това че има пръсти.

Истинската абстракция е ръката без тяло и без пръсти. Нея дори гениите трудно могат да видят. Евклид можа да види как невидимата ръка на простите числа, с безбройните й пръсти, върти машината на аритметиката, но не можа да си представи нулата - броят на пръстите на една ръка без пръсти.

<<Previous

Forward>>

Можете ли да си представите, 2

Истината на генерал Патън

Доказателства

Български легенди ... през очилата на Лайбниц

МАЛОдУМИЕ

Заблудата на Евклид

Случайности и закономерности

Counting dominoes (general version)

Counting dominoes

Да обориш Аристотел

Алфамагически квадрати

Hardcore pornography and prime numbers

нЕкои съображения: Зеници и интелигентност

Ако чуеш че обществото ни е атомизирано, то ...

Amicable pairs

Mission impossible?

Of numbers and men

И мойте песни все ще се четат ...

Четворки

Математиката (по думите на Филип Дейвис)

За ползата, 2

Нито риба, нито рак

Приказка за гении

Алтернативна математика: 2 + 2 = 22

За невидимите ръце и абстрактното мислене

Categories

Archives