Category: Mathematics - Ivan's island

Талантът

1/26/2024

Талантът е такъв доколкото му го позволяват обстоятелствата. Везенков нямаше да забива топката, ако кошът беше на височина пет метра.

Има "спортове" в които "височината на коша" се променя по време на играта. Наскоро, в една игра на математика, това се случи с мен - височината на коша се повиши и вместо обещаното съавторство получих само благодарност (тук, на стр. 17). Така възможността да "забия" Ердьош-Бейкън-Сабат номер 10 (=3+4+3) отиде на кино.

Креативността

12/20/2023

Ако мислим за креативността като за способност "да свържеш точките", то чувствителните хора възприемат света като място с повече точки и повече възможности за свързване, пишат Керълин Грегоар и Скот Бари Кауфман.

Това ме подсеща за времето когато сведох всички възможни взаимни разположения на 5 точки в генерална позиция до само три. Което навежда на мисълта че да виждаш сходството в привидно многото възможности за свързване на точките е също проява на креативност.

Елементарно, Уотсън, веднъж креативността се проявява в конкретизиране, а друг път - в генерализиране. Накратко, креативността е в това да мислиш различно - както от другите, така и от предишното ти Аз.

Математиката: инструмент или царица

12/10/2023

Доста родители смятат че математиката е инструмент, с чиято помощ децата им ще си намерят по-добра работа. Това разбиране е толкова грешно, че няма да го удостоим дори с термина "дърводелско".

Доста учени смятат че математиката е инструментът на науките. От една страна, това разбиране като че ли подценява значението на математиката. От друга страна, то е дърводелско. Какво имам предвид?

Знаете какво правят дърводелците, нали? Използват инструменти си за да правят мебели, скелети на сгради, декори и какво ли не. Какъвто и майстор да е един дърводелец, каквито и "царски" мебели да е способен да направи, той е неспособен да направи инструментите си. За това е нужен майстор от по-висш порядък, способен да обработва метал.

Ами това е то ... математиката е майсторство от по-висш порядък. Без него учените, инженерите, архитектите и финансистите не могат да вършат работата си. А и в 99.99% от случаите не могат да си го произведат сами. Оказва се че в дърводелското разбиране на математиката има дълбок смисъл. Не е случайно че, въпреки че математиката не е наука*, никой не оспорва твърдението на Гаус че тя е царица на науките.

___________________________________________
* това виждане се споделя и от доста математици, сред които е професор Джефри Шелит (на стр. 2 тук)

Кое е важното в музиката и математиката?

11/20/2023

"Математиката е като нотирана музика. Важното е не да можеш да четеш музиката, а да можеш да я чуваш", казват авторите на филма "Опенхаймер" с устата на Нилс Бор. Добре са го казали. Преди близо 4 години аз го написах така:
Големите хора са (не читатели, т.е. потребители, а) производители, те първо чуват музиката и виждат зависимостите в главите си, и едва тогава ги записват - под формата на партитури и формули.

Послепис от 24.01.2024
Не мога да не добавя това изречение, взето от началните страници на "Мостовете на Медисън": "Първо трябва да усетиш образите, думите идват след това."

Апофения и епифания

11/17/2023

Чета как Коко Шанел била дълбоко апофенична, както и че любимото ѝ число било 5. Виждала 5 навсякъде, представяла колекциите си винаги на 5-ти май. Точно това направила и когато представила пред публика ... познахте, парфюма "Шанел 5". Направила го на 5.5.1921 г.

Виждам дълбока апофенична връзка между Коко и мен. И аз съм запленен от числото 5. Даже имах епифания, откривайки Теорема за 5-орността на естествените числа. Да не говорим за различните ми доказателства (тук, тук, тук) на теоремата че в Евклидовата равнина 5 точки в генерална позиция гарантират построяването на изпъкнал 4-ъгълник между някои от тях.

Простото е красиво

11/15/2023

За кои стойности на n изразът sum(к=1..n, к!) приема стойност просто число? Защо?

За любовта от пръв поглед

11/11/2023

Така, както любовта от пръв поглед понякога води до перфектно съчетание от типа "докато смъртта ни раздели", така понякога се случва и перфектно съчетание между задачата и човека, който я решава. Имам и подходящ пример: математикът Филип Сайдак и Евклидовата теорема (за безкрайността на простите числа).

Глупавата грешка на Иван

11/11/2023

Стига съм писал за чужди глупави грешки. Сега ще пиша за една моя. И така ...

Без много да мисля, запитах публично има ли просто число p(n+1), съдържащо като подстринг предходното му просто число p(n). Бързо ми отговориха че това е невъзможно: ако такова число p(n+1) съществува, то p(n+1) > 2*p(n), но съгласно Постулата на Бертран между p(n) и 2*p(n) винаги съществува друго просто число.

Има полза и от глупавите грешки, рожби на прибързаното мислене. Моята, например, провокира следните размишления, които се надявам че съвсем не са глупави:

Може ли човек да е това, което не е? Може, ще кажете, хората не са статични. Те се променят - понякога към добро, понякога към лошо. Целта е промяната да е към добро (в моя случай - към не толкова припряно мислене).

Дотук добре, но ... ако всички можеха да се променят към добро, то защо всички не сме композитори като Бетовен и бегачи като Болт? Колегите ми по прибързано мислене веднага ще отговорят че не всеки иска да стане като Бетовен и Болт, а от тези които искат, не всеки е готов да положи необходимите усилия. А защо не са готови да полагат необходимите усилия?

Защото някои не могат, а други не искат. Вторите считат промяната за предателство по отношение на себе си. На теория Ботев можеше да се промени, т.е. да остане в Румъния и да продължи да пише стихове, но би го счел за предателство към себе си и България. Затова предпочете несигурното бъдеще на боец срещу стократно по-силен противник, което го доведе до смъртта му.

Не искам и мога да се сравнявам с Ботев, но ... да престана да изказвам недообмислени мисли бих счел за предателство към собственото си Аз. Ще продължа да го правя, без значение че съм се изложил тук или там, пред този или онзи.

Но това е инат, ще кажете. Не, не е. Да си позволи лукса да изказва само добре обмислени мисли може само този, в чиято глава собствени мисли се появяват рядко. Започнеш ли твърде много да обмисляш "новородените" си мисли, няма да имаш време и сили да "раждаш" нови.

Стъпала към безкрайността

11/5/2023

За най-красива теорема в математиката се приема теоремата на Евклид (за безкрайността на простите числа). В статия от 23 юли 2023 г. Ромео Мещрович твърди че към 2022 г. са известни 200 различни доказателства на теоремата.

През 2023 г. открих доказателство на това че броят на различните доказателства на теоремата е безкраен. Това може и да е успех, но той е вече постиган от поне няколко души преди мен. Оригиналното в моя случай е че успях не просто да докажа че броят на доказателствата е безкраен, а в това че успях да го докажа по 2 различни начина, а именно:
2.1. с употреба на редици от полигонални числа;
2.2. с употреба на редици от полихедрални числа.

Послепис
По-късно измъдрих и трети начин за доказване, с употреба на редици от центрирани полигонални числа.

Везенков срещу "Лейкърс"

11/1/2023

Везенков вкара 11 точки срещу "Лейкърс" и разни баскетболни разбирачи започнаха да го омаловажават или възхваляват. Голяма работа, казват първите, това са 4 или 5 коша.

Веднага намерих грешката в това твърдение - разбирачите са забравили за единиците. Tака че ... не става дума за 4 или 5 коша, а произволен брой кошовe в интервала [4,11], или (на езика Wolfram):
Union[Plus@@@FrobeniusSolve[{1,2,3},11]]

Простота и простотия в BG-математиката

9/26/2023

Доскоро се чудех какво е било IQ-то на човека, нарекъл т.н. prime numbers прости числа. Отговарях си че е било близо до нулата.

Сега се чудя с кой акъл са нарекли т.н. torus тор. Отговарям си че IQ-то на виновника е било под нулата (да си прави компания с обонянието му).

Какво е откритието и откъде можем да го "нападнем"?

9/17/2023

"Откритието включва две неща: това че едно нещо е и това какво точно е", казвал физикът, историк и философ на науката Thomas Kuhn. Когато става дума за география, нещата се движат в горепосочената последователност:
а) първо откриваш че нещото е (Колумб),
б) после откриваш какво точно е (Веспучи).
"Това е нов континент", заявил Веспучи и новият континент бил кръстен на негово име. Колумб не могъл да заслужи това право, той смятал че е открил нов път до Азия.

В други случаи последователността е обратната. Първо откриваш какво точно е нещото и чак след това - самото нещо. Знам го, понеже и с мен се е случвало. Когато измъдрих елементарната концепция за простите палиндромни числа с прости палиндромни индекси* аз всъщност открих какви точно са нещата първо, а кои са самите неща - след това. Оказа се че (като че ли) те са само три: 3, 5 и 11. Е, с това откритие не влязох в книгите (като Веспучи), но успях да вляза във френското научно-популярно списание Pour la Science. Както казват рибарите, като няма риба и ракът е риба.

__________________________________
* За да е от този вид, числото от първата редица (виж по-долу):
1. трябва да е едно и също когато го четем отзад напред и отпред назад, и
2. неговото число-близнак (в същата колона от втората редица) трябва да го има в първата редица.

Просто число 2 3 5 7 11 13 17 19 ...
Място (индекс) в редицата простите числа 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

Приказка за картофи и ученици

9/2/2023

Картофите се броят наесен, едва когато пораснат и ги извадиш от земята. В този смисъл, проверките по време на растежа (дали растат правилно на цвят, форма, тегло и бройка) са контрапродуктивни. Стопанинът е длъжен не да проверява, а да обгрижва.

И с образованието е така. Разпознаваш какво е учил и научил ученикът едва след като завърши училище. Контролните, класните, олимпиадите и матурите не помагат. Каква е ползата от хилядите шестици, златни медали и купи в Софийската математическа гимназия, когато на 500 метра от нея големият ѝ брат - Софийският университет - не може да запълни наличните места по математика и информатика?

Обективно и субективно

9/1/2023

В комбинаторното броене няма нищо субективно, мисли си математикът Стаменко. И на Земята, а и на другия край на Галактиката, от 5 сака и 3 панталона можеш да сглобиш 15 костюма.

Не е така в живия живот. Там броенето е субективно. Стаменко току-що е минал покрай къща, на чиято стена някакъв маймун е написал: "Бате живота е мега як!" Колко са грешките в изречението?

Един грамотен младеж би казал че те са две:
1. След Бате трябва да има запетайка, и
2. живота трябва да завършва с пълен член.
Един грамотен човек над 50 ще каже че животът не е мега як, и следователно грешките са три.

How to solve it? Различно!

8/30/2023

Това е картинката, следва задачата (взета от Мартин Гарднър):
Възможно ли е, и как, с цифрите от 1 до 7 да се запълнят всички клетки (т.е. шестоъгълници) на фигурата, така че:
а) във всяка клетка да има по една цифра, и
б) сумата на цифрите във всички 3 реда и 6 диагонала да са равни?

Гарднър е дал две решения, но аз намерих свое собствено:
Къде би могла да се намира цифрата 7?

1. Очевидно не би могла да бъде в нито в една от 6-те външни клетки. Причината е че всяка от тях е част от 3-клетъчна линия (диагонал или ред) и още две 2-клетъчни линии (диагонал или ред), но няма как да намерим алгебрично решение на 7 + A + B = 7 + C = 7 + D, при което условието С <> D да е изпълнено. С пример, няма решение на 7 + 1 + 2 = 7 + 3 = 7 + D, за което D <> 3.

2. Ако цифрата 7 е в централната клетка, то тя е част от три 3-клетъчни линии (1 ред и 2 диагонала) и ние бихме могли да намерим едно единствено алгебрично решение: 1 + 7 + 6 = 2 + 7 + 5 = 3 + 7 + 4. За съжаление, споменатото решение не отговаря на условието сумите на цифрите във всички редове и диагонали на фигурата да са равни. Следователно, цифрата 7 не може да се намира в централната клетка.

Изчерпихме всички възможни случаи, без да намерим място на цифрата 7. Следователно, задачата няма решение.

Какъв бе вашият подход?

How to solve it? Без бързане!

8/18/2023

Най-големият математически бестселър (след евклидовата "Геометрия") е шедьовърът на George Pólya "How to solve it", на нашенски - "Как се решава тази задача". Досега книгата е издадена в тираж над милион екземпляра и продължава да се издава. Преди няколко седмици, например, си купих бройка от изданието на Penguin от 2022 г.

В книгата си, Поя показва че не само е голям математик, но и голям философ, писател, а и преподавател. Дава безценни съвети, но само едно нещо е пропуснал - да каже какво става след като решим задачата (докажем теоремата) и проверката на резултата покаже че сме прави. Ще го кажа вместо него:
Вместо да се потупаме по рамото за акъла и упоритостта, след което да се захванем с нещо друго, добре е да не бързаме, а да помислим няма ли друго, т.е. по-добро, кратко и елегантно решение, достойно за Книгата*.

Нека разгледаме Проблем 18 от книгата на Поя, виж стр. 237 тук! Задачата е да се разгледа следната пирамида, да се открие закономерността, да се изрази в символна форма, след което да се докаже верността ѝ.

1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64

Решението на Поя (виж стр. 250-251, пак там) е кратко и елегантно, но не е оптималното (изисква се познаване на аритметичните прогресии, например). Моето решение е максимално просто**:
Произвеждаме пирамида, различна от пирамидата на Поя. Нашата пирамида изглежда така

1
1+3+5
1+3+5+7+9+11
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на n-тия ред на нашата пирамида минус (n-1)-я ред на нашата пирамида. Доказваме (ето как) че n-тият ред на нашата пирамида е равен на квадрата на n-тото триъгълно число, което е n(n+1)/2. Оттук, директно следва че n-тият ред на Пирамидата на Поя е равен на (n(n+1)/2)^2 - ((n-1)n/2)^2 = ... = n^3

__________________________________
* в която, по думите на Пал Ердьош, Бог записва най-красивите решения и доказателства
** на принципа "Накарай мързеливия (неукия) на работа, че да те научи на акъл"

Математиката - висша или нисша?

8/9/2023

Математиката не е висша или нисша, а ранна или късна. Теоремата на Наполеон се струва нисша само на тези, които забравят:
1. че се е пръкнала чак през 19-ти век, вместо да се яви на някой грък векове преди Христа, и
2. че е трябвало да изчака автора да вземе изпитите си по "висша" математика, за да може да я измисли и докаже.

Числото на Живота, Вселената и всичко останало

7/4/2023

Някои казват че числото било 42, но не се обосновават. Както винаги, аз съм на обратното мнение: числото е 24.

Делителите на 24 образуват множеството D = {1,2,3,4,6,8,12,24}. От една страна, D е обединение на непресичащите се множества на делителите S1 = {1,2,3,24} и S2 = {4,6,8,12}, които са с еднакви суми и кардиналности. От друга страна, D е обединение на непресичащите се множества на делителите P1 = {1,2,12,24} и P2 = {3,4,6,8}, които са с еднакви произведения и кардиналности. За капак: S1, S2, P1 и P2 са също с еднакви кардиналности.

За любителите на 42 имам успокоение. За него също може да се намери подобно представяне*. Но ... шампионът е 24, а 42 е само бронзов медалист!

____________________________________
* където S1 = {1,2,3,42}, S2 = {6,7,14,21}, P1 = {2,3,7,42}, а P2 = {1,6,14,21}

Числото на живота, Вселената и всичко останало е 4

4/9/2023

Понеже днес съм на вълна точки (гледни и IQ), та се сетих за израза "фиксирана точка" и реших да напиша на български това, за което преди време станах "известен" чак в Китай. За незапознатите обяснявам: фиксираната точка на една функция f е точката x, в която x = f(x).

Теорема:
Функцията "Брой символи в името на числото x на американски английски" има една единствена фиксирана точка, а именно 4.

Следствие:
Рекурсивното прилагане на функцията към произволно число винаги ни "паркира" върху числото 4.

Пример:
Ако числото x = pi*r^2, то името му е "pi times r squared", a f(x) = 15, f(15) = 7, f(7) = 5, f(5) = 4, f(4) = 4.

Infinitely many ways to prove the infinitude of primes, chapter 2

3/19/2023

Let us start with the observation that for m > 5 the n-th m-gonal pyramidal number is of the form (1/6)*n*(n + 1)*((m – 2)*n – m + 5) (details here).

The positive m-gonal pyramidal number P and the m-gonal pyramidal number whose index is (6*P + 1) are coprime since the latter is of the form
(1/6)*(6*P + 1)*(6*P + 2)*((m – 2)*(6*P +1) – m + 5) = … =
= (3*P + 1)*(6*P + 1)*(2*P*(m – 2) + 1).

Therefore, for any m > 5 any sequence whose first term a(1) is a positive m-gonal pyramidal number and whose general term is of the form
a(n) = (3*k + 1)*(6*k + 1)*(2*k*(m – 2) + 1),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i), is a sequence of pairwise coprime m-gonal pyramidal numbers.

Corollary:
The above implies, by the Fundamental theorem of arithmetic, that there are infinitely many ways to prove the infinitude of primes.

Example:
By taking as a seed the first hexagonal pyramidal number 1 (see OEIS A002412), we can construct the following sequence of pairwise coprime hexagonal pyramidal numbers: 1, 252, 2310152797, 28410981127871160285705816883937448685, ...

Infinitely many easy ways to prove the infinitude of primes

2/26/2023

Elaborating on my previous text called "One easy way to prove the infinitude of primes", I found the following

Theorem
Let m = 2*l, for any l > 0. There are infinitely many sequences of pairwise coprime m-gonal numbers, whose first term a(1) is any positive m-gonal number and whose general term a(n) is of the form a(n) = (k +1)*((l – 1)*k + 1)), where
k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Corollary
The fact that any such sequence is infinite implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of ways of proving the infinitude of primes.

Example
Let us take for example the Tetradecagonal numbers (where m = 14 and l = 7) and take the second 14-gonal number 14 as the first term of the new sequence (NS). The general term of NS is of the form a(n) = (k +1)*(6k + 1),
where k = Product_{i=1..n-1} a(i) and
NS = {14, 645, 244658821, 14642610579551886703145221, ...}.

One easy way to prove the infinitude of primes

2/23/2023

Improvising on the ideas of Wacław Sierpiński*, I found that infinitely many sequences of pairwise coprime octagonal numbers can be constructed, their first term a(1) being equal to any positive octagonal number and their general term being of the form a(n) = (k+1)*(3k+1), where k = Product_{i=1..n-1} a(i).

Any such sequence is infinite, which implies (by the Fundamental theorem of arithmetic) the infinitude of primes.

Example
One such sequence is 8, 225, 9727201, 919691230011613567201,...

___________________________________________________________________
* see Problems 42 and 43 here, which involve triangular and tetrahedral numbers

Стегни се, човече! Имаш проблем за решаване!

2/14/2023

Препрочитам си саркастичния текст "Рок-музика и дебилност" и изведнъж, сякаш отникъде, ми хрумва това:
Кой ли е минималният брой думи, образуващи смислено изречение с максимален брой повторения на думи?

Английският, сякаш, е най-подходящ за конструиране на такова изречение. Сещам се за Man up, man! На нашенски, Стегни се, човече! Не мога да се сетя за нещо подобно на български, освен за Стягай си гащите, гащник! Само дето тук има една дума повече, а и повторението не е съвсем повторение.

Хрумна ми и идея за целочислена редица, с общ член дефиниран така: Минимално просто число с n повторения на някоя от цифрите. За жалост, оказа се че и този път съм открил топлата вода.

Задача за маниаци с маниашки компютри

2/8/2023

Гледам че преди 6 месеца съм измислил интересната целочислена редица OEIS A355371: Числа равни на сумата на първите R неквадрати и първите S квадрати (за някакви стойности на R и S).

За пример: 1+4+9+16+25+36 = 2+3+5+6+7+8+10+11+12+13+14 = 91

Първите 5 такива числа са: 5, 91, 506, 650, 11440. За шестото казват че ако го има, то е по-голямо от 10^20. Колко по-голямо?

Happy Ending Problem (with wine glasses)

1/30/2023

The Happy Ending Problem (named so by Paul Erdős as it led to the marriage of his friends Esther Klein and George Szekeres) was originally stated by Esther Klein in the following manner:

There are five points on a flat surface, no two of which are coinciding and no three of which are on a straight line. Prove that four of these points are vertices of a convex quadrilateral.

This is the latest proof (demonstration, if we have to be precise) of mine, based on the fact that five points in general position always form a pentagon. There are only two cases to consider.

Case 1. If the pentagon is convex we are done (as four of its vertices form a convex quadrilateral).

Case 2. If the pentagon is concave let us rotate it until one of its edges becomes parallel to the X axis, so that we use the pentagon as a wine glass and pour wine through the diagonal that is outside the pentagon, if this is possible. There exist only four types of glass, which we call Flat Bottom, Flat Top, Flat Middle and No Wine, and for every one of them we can easily construct a convex quadrilateral (see below).