Category: Mathematics - Ivan's island

Живот, по-странен от измислица

11/30/2024

Сетихте се, през 2006 г. излезе филм с подобно заглавие - Stranger than fiction. А сетихте ли се за "Добрият Уил Хънтинг" от 1997 г.? Там един чистач в университета откри на една дъска в коридора нерешен математически проблем и като на шега го реши.

Моят случай е по-странен от измислицата с Уил Хънтинг:

1. Вместо да решавам нерешени математически проблеми, аз измислям такива, а друг ги решава (както се случи с Михел Деккинг, виж тук, или с Нийл Слоун, виж тук).*

2. Понякога, което е още по-странно, измислям математически обекти, а проблемите, свързани с тях ги виждат и решават други (както се случи с Бабеш Дас и Юнитарните цумкелерови (и полуцумкелерови) числа).

Ще го кажа другояче:
Уил Хънтинг беше нещо като пешеходец, поел по пътя показан му от регулировчика (човекът, написал проблема на дъската). Аз съм на по-горното ниво (регулировчикът, описващ на дъската кои са проблемите) или на още по-горното (шефът на регулировчиците, даващ насоки къде биха могли да се появят проблемите).

_______________________________________________________
* и двамата са математици с Ердьош номер 2

Професионалисти срещу аматьори

11/16/2024

Ютюбърът Джейк Пол спечели единодушно боксовия мач с легендарния Майк Тайсън. Нищо чудно, случват се и такива работи. Ще дам един пример с моя милост.

В книгата си Antifragile Насим Талеб (професор по рисково инженерство и доктор по математика) твърди че ако на света имаше 20 лекарства и ние решим да добавим 21-во, то трябва да направим 20 изследвания за странични ефекти. Според мен, изследванията трябва да са
Sum[Binomial[21,i],{i,2,21}] - Sum[Binomial[20,i],{i,2,20}] =
= (2^21 - 21 - 1) - (2^20 - 20 - 1) = 2^20 - 1 = 1048575
и то само ако допуснем че всичките
Sum[Binomial[20,i],{i,2,20}] = 2^19 - 1 = 524287
изследвания за досегашните 20 лекарства вече са били направени и не са били установени странични ефекти.

Елементарно, Насим, странични ефекти при комбинациите от лекарства A&B, A&C и B&C може да няма, но те могат да се появят при комбинацията от лекарства А&B&C.

Послепис
Който не вярва че Талеб е толкова далеч от истината, нека потърси с Гугъл това: antifragile "if there are twenty unrelated drugs"

Дисклеймър
Малко нагласих заглавието; Джейк Пол е професионалист както в ютюбирането, така (вече) и в бокса.

Talent and circumstances

11/8/2024

Talent is not just something you have inside of yourself. It is also what circumstances allow you to express. Michael Jordan wouldn't have slam-dunked the ball had the basketball rim been 5 meters above the court.

There are "sports" where the rules change during the game. Last year, in a "game" of mathematics, this is what happened to yours truly: the "height of the rim" was gradually increased and his contribution did not warrant co-authorship (as initially promised), but only thanks (here, on page 17). Thus, yours truly lost (probably forever) the opportunity to "slam dunk" an Erdös-Bacon-Sabbath number of 9 (=3+3+3).

Моите песни все ще се четат

11/1/2024

Ех, този Вазов, какъв провидец се оказа! Написа "И моите песни все ще се четат" и те наистина се четат. Даже се подцени, не само се четат, но и се пише за тях. Е, ако трябва да сме точни, мнозинството от писачите са ученици и кандидат-студенти, по задължение.

И моите песни се четат. Даже се пише за тях. Но писачите го правят за кеф, не по задължение. И друго ... те не са ученици, а университетски преподаватели - бивши и настоящи.

Един за всички, всички за един?

10/25/2024

За повечето хора множествената склероза е автоимунно възпалително невродегенеративно заболяване, но Стаменко Математикът нарича с това име склонността да забравяме:

че не можем да говорим за елементите от името на множеството, и
че не можем да говорим за множеството от името на елементите.

Просто защото между елементите и множеството няма "единодушие". Ще дадем сравнително сложен математически пример, пък който може, нека го разгадае (или предложи по-прост):
Множеството на ненормалните числа е нормално множество (защото не е елемент на себе си, т.е. защото не е ненормално число).

Да припомним на читателя и какво са уклоните. Те са систематични и автоматични отклонения от нормалните когнитивни процеси (процесите на възприемане, обработка, съхраняване и възпроизвеждане на информация). Дори и най-здравият разум е податлив на уклони.

Стаменко смята множествената склероза за уклон, и следователно, тя не е болест. Всеки страда от нея, но кои са причините? Дали тя не се предава меметично, така както някои болести се предават генетично? Дали в основата ѝ не са хилядолетните навици:

на царе и политически партии (да говорят от името на народите),
на народите (да смятат че царе и политически партии говорят от тяхно име)?

Да споменем че в родината на Стаменко дори присъдите се издават от името на народа, въпреки че повечето от елементите на множеството "Народ" не подозират за това (или ако подозират, не са наясно с детайлите на присъдите и бройките на наказаните).

A cube of different magic

10/14/2024

Find 8 different positive integers such that when placed on the vertices of a cube the sum of the numbers on each edge* is a perfect square**.

______________________________________
* or (even better) each edge and diagonal
** or (even better) a unique perfect square

Уорън Бъфет без пищови

10/3/2024

Гошо Тъпото казал на Уорън Бъфет:
- Намери 8 различни цели положителни числа, такива че когато ги разположиш на върховете на куб, сумата от числата на всеки ръб да е точен квадрат*.

Уорън Бъфет намерил числа за основата (18530, 38114, 45986, 65570), но не могъл да продължи по-нататък. Нямало и кой да му подскаже, но се сетил за мотото си че разликата между успешните и истински успешните хора е в това че вторите почти на всичко казват НЕ. Затова отговорил така:
- НЕ съм способен да намеря такива числа. Дори дали изобщо има такива НЕ знам.

_______________________________________________________
* а защо не и уникален за куба точен квадрат?

Proving the infinitude of primes via Centered polygonal numbers

8/21/2024

Let us start with the observation that for m >= 2 the n-th centered 2m-gonal number is of the form (2m/2)*n*(n+1) + 1 (details here). Therefore, the centered 2m-gonal number C and the centered 2m-gonal number whose index is C, i.e. the number (2m/2)*C*(C+1) + 1, are coprime.

Therefore, any sequence of centered 2m-gonal numbers, whose first term a(1) is any centered 2m-gonal number and whose general term is of the form
a(n) = (2m/2)*C*(C+1) + 1, where C = Product_{i=1..n-1} a(i), is a sequence of pairwise coprime centered 2m-gonal numbers.

Corollary:
The above, by the Fundamental theorem of arithmetic, implies that there are infinitely many ways to prove the infinitude of primes.

Example:
Taking as a seed the centered square number 1 (see OEIS A001844), we can construct the following infinite sequence of pairwise coprime centered square numbers: 1, 5, 61, 186661, 6482415409615261,
272402172694009346312913190157283525183169345861, ...

Каква е ползата?

8/4/2024

Стаменко Математикът е в кръчмата с приятели. Говорят за какво ли не и в един момент стигат до стаменковите занимания. Той не намира за разумно да ги обсъжда с неспециалисти, но след като е станало дума, споделя информация за някои резултати. А те го питат каква била ползата от тях.

- Елементарно е, момчета - обяснява им Стаменко. - Моята професия е като тази на хамалина и палача. Ако не бяхме ние, щеше да ви се налага да изчислявате, носите и бесите сами, което щеше да ви е хем трудно, хем неприятно.

Изкуството да задаваш въпроси

7/25/2024

Когато, със закъснение от 20 века, Кристиан Голдбах доказал Теоремата на Евклид по различен начин, той не просто:

го направил красиво, и
станал вторият човек доказал теоремата,

а поставил началото на особен начин за нейното доказване*.

Но ... Голдбах не станал известен с това че доказвал свои и чужди теореми, а с това че изказал Предположението на Голдбах - нещо, което никой не могъл да докаже. Казано с думите на Георг Кантор:
В математиката, изкуството да задаваш въпроси е по-ценно от решаването на проблеми.

__________________________________________________________________
* с използване на безкрайни редици от числа, всяка двойка от които са взаимно прости

Проблеми

7/6/2024

Проблемите са решими и нерешими. Решимите са решени и нерешени.

Може и да ни се вижда странно, но уж елементарната Теорема на Наполеон не е била "решена" от някой шумер или грък, а е чакала да дойде 19-ти век. Дотогава тя е била решима, но нерешена. Когато през 1820 г. е била дадена на изпит в Университета на Дъблин, тя вече е била решена.

Питам се здравословна ли е интелектуалната храна, която се сервира на ученици и студенти? Здравословно ли е да им се дават за решаване само проблеми, чието решение е открито от автора на проблема (учебника). Не ги ли лишават по този начин от досега с истинското откривателство - упоритостта когато си неспособен да решиш даден проблем да се полуташ около него, докато откриеш друг решим, но нерешен, проблем, когото можеш да решиш сам.

Уточняващ послепис
Това че не е полезно да ти се дават само решени проблеми, не означава че трябва да си блъскаш главата само с нерешени такива. В ръцете на таланта решеният проблем намира ново, а понякога и по-интересно, решение. Кой можеше да си представи, имайки предвид обсебеността на древногръцките математици от линията и пергела, че доказателството за ирационалността на числото √2 с използване на линия и пергел ще се появи не по времето на Питагор или Евклид, а чак през 2000-та година (благодарение на Tom M. Apostol)?

Балканска математическа олимпиада

5/2/2024

Провела се Балканска математическа олимпиада. Българчета спечелили 8 медала. Support-ърите радостно манифестират, hate-ърите задават уместни въпроси:
1. Защо първият по точки е французин? Нали олимпиадата е Балканска?
2. Как се случва така че най-добрият БГ участник се класира едва на седмо място по точки, но печели златен медал?

Аз си мисля за други неща. Ето какви:
Олимпиадите са прекрасен начин за индоктриниране - учиш децата че винаги има:

хора от Категория А, чиято съдба е да поставят проблемите;
хора от Категория Б, чиято съдба е да решават проблемите.

Съгласно народната мъдрост: Всяка жаба да си знае гьола!

Предположения и опровержения: Годфри Харди

5/2/2024

Случвало ми се е да измисля нещо интересно и някой поучително да цитира Годфри Харди и неговото "Всеки глупак би могъл да измисли Предположението на Голдбах".

Нито Харди, нито апологетите му са се сетили да помислят върху неговото неуместно изказване. То също е предположение, и то маловажно. Затова никой не е закачил името на Харди за него, нито се е опитал да го докаже.

Партийната линия

4/27/2024

Партийната линия е като Линията на числата - повечето от точките ѝ са ирационални.

Генерализация

4/15/2024

"Перфектните хора и перфектните числа си приличат по това че са много редки", казвал Рене Декарт. На Райнхард Цумкелер това не му харесвало и затова генерализирал концепцията за перфектните числа. Получените в резултат на генерализацията Цумкелерови числа са доста по-често срещани от перфектните: поне едно от всеки 12 последователни цели положителни числа е Цумкелерово.

Генерализирането става лесно и при хората. За 4 месеца капитан Богомил Бонев стана генерал-майор. За 4 месеца майор Бойко Борисов също стана генерал-майор. На база на опита ми с числата, няма да се учудя ако скоро се окажем в ситуация, в която на 12 души под пагон имаме поне по един генерал.

Миш-маш от ергенски данък, абдукция и висококомпозитни числа

3/22/2024

Редовен читател на блога пита как става така че често мислим по еднакви теми и стигаме до еднакви заключения. Пратих му някакъв бърз отговор, но решавам да се аргументирам по-добре и се сещам за ... абдукцията.

"Другата гледна точка ти дава 80 допълнителни IQ точки", казвал компютърен гений. Ако приемем това за вярно, то абдуктивният извод е че ако имаш повече IQ точки, то е разумно да се предположи че имаш и повече гледни точки към нещата. За такива хора е лесно да установят че (казано геометрично) "прогресивното" семейно подоходно облагане и старият царско-комунистически ергенски данък са ... подобни ТЪПОъгълници. Подобни не само по същността си, но и по антиконституционността си.

Послепис
И като стана дума за абдукцията ... (макар и без връзка с горното) ще дам личен пример за успешното ѝ използване. През 2019 г. направих А (предположение относно висококомпозитните числа), от което следваше Б (нещо вече доказано). Абдуктивно реших че от верността на Б следва верността на А, и че трудът по доказването на А няма да бъде хвърлен напразно. Хвърлих го (през следващата година) и ... наистина не беше напразно.

Normalcy (slightly updated)

3/13/2024

Real people are like real numbers: almost all of them are supposedly normal, but if you want to point which well known ones are, you'll face great difficulties.

Реалните хора са като реалните числа: уж почти всички са нормални, но aко се наложи да посочиш кои от известните са такива, ще срещнеш големи трудности.

Перфектни задачи за перфектни хора

3/3/2024

Въведение
1. Перфектните числа са познати от хилядолетия като тези числа К, чиято сума на делителите е равна на 2К (например, числото 6).
2. Числата на Оре, познати и като хармонични числа, са числата чиято средно-хармонична на делителите е цяло число (например, числото 6). Доказан е фактът че перфектните числа са числа на Оре (без да са всички числа на Оре).
3. Нетривиалните делители (за целите на нашия пример) на едно число М са всичките му (цели положителни) делители, с изключение на 1 и М.

Изложение
Вчера открих (без да докажа) интересно свойство на перфектните числа, което те споделят с поне едно неперфектно число на Оре (а именно, числото 6200).

Свойство 1
Перфектните числа са числа на Оре, чиито нетривиални делители не са числа на Оре.

Задача 1
Да се намери поне още едно число подобно на 6200, или да се докаже че такова не би могло да има.

Пищов 1
Ако такова (подобно на 6200) число съществува, то е по-голямо от 137438691328.

Задача 2
Предполагам че по-интересният проблем е да се докаже че Свойство 1 е наистина свойство на перфектните числа.

Послепис 1
Понеже никой не поиска да реши Задача 2, успях да го направя сам (виж линка по-горе). Е, трябва да призная че доказателството ми важи само за познатите ни четни перфектни числа. Но понеже нечетните се предполага че не съществуват ...

Възхвала на математиката

2/25/2024

На пръв поглед, няма съществена разлика между пледоарията на адвоката и теоремата на математика, понеже става дума за детайлна аргументация. Замислим ли се, ще установим че разликата е в резултатите:
а) успешната адвокатска пледоария решава локален казус и води до оправдаване на един или няколко конкретни обвинени, докато
б) успешната теорема решава глобален казус, т.е. оправдава всички "обвинени" - настоящи и бъдещи.

Замислим ли се малко повече, установяваме че успешната теорема Х оправдава и минали "обвинени", т.е. теоремите които са били доказани при допускане на верността на Х, преди Х да е била доказана.

Прост народ = слаба държава

2/23/2024

Стаменко се е изправил пред студентите си и ги ограмотява по въпроси от комбинаториката с примери от практиката:

- "Като нямат хляб, да ядат пасти", била казала Мари Антоанет. Това са пълни глупости! Първо, това тя никога не го е казвала. Второ, това го е казал Русо. И трето, в оригинала става дума не за паста, а за бриош - френски пухкав хляб с повишено съдържание на масло и яйца.

Кой ли неграмотен ваш прадядо реши да преведе БРИОШ-а като ПАСТА? Сигурно е бил същият, който е превел френските МАКАРОНИ като ЦЕЛУВКИ, а италианската ПАСТА - като МАКАРОНИ. Така той е затворил "кръгa", когото математиците наричат DERANGEMENT, т.е. пермутация при която никой елемент не запазва оригиналното си място. В случая - оригиналното си име.

И като се замислим ... Дали родината ни не е на това дередже, точно защото никой от нас не е на оригиналното си място, т.е. на мястото което заслужава?

6-тоъгълен 5-то-знаете-какво

2/17/2024

Може ли да се докаже че всеки изпъкнал многостен има поне две стени с равен брой ъгли? Ако ДА, то КАК? Ако НЕ, то ЗАЩО?

Какво е да си математик?

1/28/2024

Математикът е човек, виждащ възможности за правене на математика, пише известният математик Иън Стюарт. Прекрасна мисъл, компресирала в няколко думи това, което негови колеги са се опитвали да изразят в продължение на векове.

Въпреки че ми липсват образование и специфични способности, горната дефиниция ме прави математик. Просто защото виждам възможности за използване на математика навсякъде, вкл. и при:

а) мисленето за нематематически обекти, каквито са: баскетболът, девизът на Франция, копчетата, абстрактното изкуство, феноменът "пазарна капитализация", рок-музиката, политиката и какво ли още не;

б) критичното анализиране на мисленето на: самия Иън Стюарт, Дьорд Поя, Нийл Деграс Тайсън, Джон "Красивият ум" Наш, Васил Левски, подполковник Марин Куцаров и Блага Димитрова.

Талантът

1/26/2024

Талантът е такъв доколкото му го позволяват обстоятелствата. Везенков нямаше да забива топката, ако кошът беше на височина пет метра.

Има "спортове" в които "височината на коша" се променя по време на играта. Наскоро, в една игра на математика, това се случи с мен - височината на коша се повиши и вместо обещаното съавторство получих само благодарност (тук, на стр. 17). Така възможността да "забия" Ердьош-Бейкън-Сабат номер 9 (=3+3+3) отиде на кино.

Креативността

12/20/2023

Ако мислим за креативността като за способност "да свържеш точките", то чувствителните хора възприемат света като място с повече точки и повече възможности за свързване, пишат Керълин Грегоар и Скот Бари Кауфман.

Това ме подсеща за времето когато сведох всички възможни взаимни разположения на 5 точки в генерална позиция до само три. Което навежда на мисълта че да виждаш сходството в привидно многото възможности за свързване на точките е също проява на креативност.

Елементарно, Уотсън, веднъж креативността се проявява в конкретизиране, а друг път - в генерализиране. Накратко, креативността е в това да мислиш различно - както от другите, така и от предишното ти Аз.

Математиката: инструмент или царица

12/10/2023

Доста родители смятат че математиката е инструмент, с чиято помощ децата им ще си намерят по-добра работа. Това разбиране е толкова грешно, че няма да го удостоим дори с термина "дърводелско".

Доста учени смятат че математиката е инструментът на науките. От една страна, това разбиране като че ли подценява значението на математиката. От друга страна, то е дърводелско. Какво имам предвид?

Знаете какво правят дърводелците, нали? Използват инструменти си за да правят мебели, скелети на сгради, декори и какво ли не. Какъвто и майстор да е един дърводелец, каквито и "царски" мебели да е способен да направи, той е неспособен да направи инструментите си. За това е нужен майстор от по-висш порядък, способен да обработва метал.

Ами това е то ... математиката е майсторство от по-висш порядък. Без него учените, инженерите, архитектите и финансистите не могат да вършат работата си. А и в 99.99% от случаите не могат да си го произведат сами. Не е случайно че, въпреки че математиката не е наука*, никой не оспорва твърдението на Гаус че тя е царица на науките.

___________________________________________
* това виждане се споделя и от доста математици, сред които е професор Джефри Шелит (на стр. 2 тук)