Ivan's island
  • Home
  • Blog
  • CATEGORIES
  • Rules

Живата математика

12/15/2015

0 Comments

 
Увод
Наскоро, на български излезе книгата „Живата теорема“ от Седрик Вилани. Става дума за биографията на една теорема и по-точно – за биография, написана от „бащата“ на теоремата. Споменатата теорема е от „предния“ фронт на математиката и по тази причина и тя, а и доказателството й, са неразбираеми не само за обикновените хора, но и за математиците от другите клонове на математиката. Въпреки това, книгата стана бестселър.
 
Кое ли е нещото, направило книгата толкова популярна? Според мен това е идеята за „живината“ на теоремата (и математиката); за това как тя се ражда дълго и мъчително в дългогодишна комуникация между много математици от цял свят; за безсънните нощи, в които е „дундуркана“ подобно на бебе; за радостта и гордостта от израстването на бебето.
 
Макар че думата „математика“ ми звучи на китайски, реших и аз да напиша кратко разказче за раждането на една теорема. Тук става дума за "бременност" продължила 25 века. Тук става дума за комуникация между живи и мъртви хора – каквато е комуникацията между идеите им. Може би разказът няма е толкова интересен, колкото този на Вилани, но съм сигурен че ще е доста по-разбираем.
 
Изложение
Около 500 години преди Новата ера, гръцките математици откриват че някои числа са триъгълни. Което означава че те могат да бъдат представени така:
Picture
Фигура 1
Както се вижда от Фигура 1, първото триъгълно число е 1, второто – 3, третото – 6 и т.н. Кое ли е 1234-тото? А n-тото? 200 години по-късно формулата за n-тото число е вече известна:
Picture
Формула 1
През 17-ти век, френският математик Пиер дьо Ферма открива че ако умножиш произволно триъгълно число по 9 и към резултата прибавиш 1, то полученото число е също триъгълно. Казано с езика на математиката:
Picture
Формула 2
За n = 1, това лесно може да се провери с помощта на Фигура 1:
Picture
Пример 1
На математиката й трябваха около 100 години, за да може някой да направи следващата стъпка, т.е. да види че второто събираемо във Формула 2, а именно 1, е също триъгълно число. Направи го Леонард Ойлер, който не спря дотук, а се запита: „А не може ли формулата на Ферма да се обобщи за две произволни триъгълни числа?“ Оттук нататък беше лесно, особено за Ойлер:
Picture
Формула 3
На математиката й трябваха около 250 години за да може някой да направи следващата стъпка, т.е. да усети „силата“ на Ойлеровото равенство и да се запита не важи ли то (или аналогично на него равенство) за други числа. Този някой бях аз, а вторият ми въпрос беше: „Кои са тези други числа?“ Ясно беше че те трябваше да са в „роднинска“ връзка с триъгълните. Така се насочих към факториалните числа, които са мултипликативният аналог на триъгълните. Казано по-ясно, така както n-тото триъгълно число е равно на сумата на числата от 1 до n, така n-тото факториално число е равно на произведението на числата от 1 до n.
 
Открих равенства при факториалните числа
, но те се отнасяха само до сумата на две съседни факториални числа, а не до сумата на две произволни такива. Същото се повтори и с други факториални числа (двойни, четворни и  т.н.).
 
В една безсънна нощ четях прекрасното описание на способностите на Айнщайн за аналогично мислене, направено от Дъглас Хофстатър. Изведнъж, моето аналогичното мислене се пробуди и каза: „Тетрахедралните числа“.
 
Така както триъгълните числа са суми на последователните естествени числа, тетрахедралните числа (
OEIS A000292) са суми на последователните триъгълни числа. Не ми трябваше много време за да открия равенството:
Picture
Формула 4
където
Picture
Формула 5
е n-тото тетрахедрално число.
 
Заключение
За да откриеш и докажеш една математическа истина не е нужно да си математически гений или дори математик. И това също е доказателство за живината и силата на математиката.
0 Comments

Your comment will be posted after it is approved.


Leave a Reply.

    RSS Feed

    This website uses marketing and tracking technologies. Opting out of this will opt you out of all cookies, except for those needed to run the website. Note that some products may not work as well without tracking cookies.

    Opt Out of Cookies

    Categories

    All
    Alan Turing
    Aphorisms
    Art
    Asymmetries
    Bacillus Bulgaricus
    Economics
    Environment
    History
    Hr
    InEnglish
    Intelligence
    Language
    Mathematics
    Music
    Paradoxes
    Politics
    Psychology
    Reading&writing
    Seriouslessness

    Archives

    January 2023
    December 2022
    November 2022
    October 2022
    September 2022
    August 2022
    July 2022
    June 2022
    May 2022
    April 2022
    March 2022
    February 2022
    January 2022
    December 2021
    November 2021
    October 2021
    September 2021
    August 2021
    July 2021
    June 2021
    May 2021
    April 2021
    March 2021
    February 2021
    January 2021
    December 2020
    November 2020
    October 2020
    September 2020
    August 2020
    July 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    February 2020
    January 2020
    December 2019
    November 2019
    October 2019
    September 2019
    August 2019
    July 2019
    June 2019
    May 2019
    April 2019
    March 2019
    February 2019
    January 2019
    December 2018
    November 2018
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    May 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    January 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    August 2017
    July 2017
    June 2017
    May 2017
    April 2017
    March 2017
    February 2017
    January 2017
    December 2016
    November 2016
    October 2016
    September 2016
    August 2016
    July 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    February 2016
    January 2016
    December 2015
    November 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015
    June 2015
    May 2015
    April 2015
    March 2015
    February 2015
    January 2015
    December 2014
    November 2014
    October 2014
    September 2014
    August 2014
    July 2014
    June 2014
    May 2014
    April 2014
    March 2014
    February 2014
    January 2014
    December 2013
    November 2013
    October 2013
    September 2013
    August 2013
    July 2013
    June 2013
    May 2013
    April 2013
    March 2013
    February 2013
    January 2013
    August 2012

Powered by Create your own unique website with customizable templates.