Кусурите на популярната математика

Признавам че заглавието е подвеждащо. Днес няма да разискваме кусурите на популярната математика, а кусурите на математиците произвеждащи книги на тема "популярна математика". Отвори ли човек подобна книга, той трябва да е наясно че е твърде вероятно тя да му е последната. Било защото е безинтересна, било защото е неразбираема. Но най-вече защото в другите подобни книги ще пише за същите неща:

• простите числа и числата на Фибоначи,
• теоремата за ирационалността на числото "квадратен корен от 2",
• теоремите на Питагор, Евклид и Ферма,
• предположението на Голдбах и т.н.

Разочарован от еднообразието на тези книги, решавам да напиша нещо ново, свежо, просто и разбираемо. И така ...

Въпрос:
Знаете ли какъв е броят на естествените делители на естествените числа?

Пищов:
Под естествени разбираме целите положителни числа.

Отговор:
Броят на делителите е четно число, защото делителите могат да се групират на двойки. Елементарно, Уотсън, ако X=Y*Z, то двойката делители  на Х се състои от числата Y и Z. Колкото и такива двойки D(X) да имаме, броят на дeлителите d(X)=2*D(X) е четно число. Единствено т.н. квадратни числа (1,4,9,16,25,...) имат нечетен брой делители, по простата причина че X=Y*Y.

Каква е ползата от горното знание:
Ще го използваме за доказване на теорема, открита (за пръв път) от Изкуствения интелект HR и доказана (за пръв път) от "татко му" Саймън Колтън (виж тук). И така ...

Дефиниция:
Рефакторируемите числа са числата, делими (без остатък) на броя на делителите си. Редицата им започва така: 1,2,8,9,12,18,24,36,40,56,60, ...

Теорема:
Нечетните членове на редицата на рефакторируемите числа са квадратни числа.

Доказателство:
Нечетно число с четен брой делители (напр. 15 или 21) не може да е член на редицата на рефакторируемите числа (съгласно дефиницията по-горе). Следователно, нечетните членове на редицата са квадратни числа (съгласно отговора по-горе). QED